Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/52

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ipotesi, con la geometria sferica1, e l'osservazione relativa all'indipendenza di quest'ultima dal postulato delle parallele. Riferendosi poi alla terza ipotesi esprimeva la seguente acuta ed originale veduta: Ich sollte daraus fast den Schluss machen, die dritte Hypothese komme bey einer imaginären Kugelfläche vor.

A questo modo di concepire le cose forse fu condotto dalla formula: r2 (A + B + C - pi greco), che esprime l'area di un triangolo sferico, perchè, mutando in essa il raggio r nel raggio immaginario r . radice di (-1), diventa:


r2 (pi greco - A - B - C)


cioè la formula dell'area d'un triangolo piano, nella terza ipotesi di Lambert2.


§ 22. Lambert lascia dunque la questione sospesa; anzi non avendo pubblicato le sue ricerche fa supporre d'aver intravvisto qualche nuovo orizzonte.

Intanto è bene notare che, pel generale insuccesso di sifatte ricerche, nella seconda metà del XVIII secolo andava formandosi la convinzione che fosse necessario ammettere senza dimostrazione il postulato euclideo o qualche altro postulato equivalente.

In Germania, ove con frequenza si succedevano gli studi sull'argomento, la convinzione aveva già assunto una forma abbastanza precisa. La ritroviamo in A. G. Kaestner [1719-1800], grande cultore delle ricerche sulle parallele3,

  1. Infatti in geometria sferica la somma degli angoli di un quadrilatero è maggiore di quattro angoli retti, ecc.
  2. Cfr. Stäckel ed Engel: «Th. der P.», p. 146.
  3. Per qualche notizia intorno a Kaestner Cfr. Stäckel ed Engel: «Th. der P.», p. 139-141.