Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/74

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crescendo col crescere dei lati, tuttavia non può superare un certo segmento, che io chiamo COSTANTE.

«Il quadrato, in conseguenza, ha la seguente forma:

«Se questa costante fosse per noi il semiasse terrestre (e in conseguenza di ciò ogni linea retta, tirata fra due stelle fisse che distano fra loro di 90°, sarebbe tangente alla sfera terrestre) essa sarebbe infinitamente grande, rispetto alle dimensioni che si presentano nella vita quotidiana.

«La geometria euclidea vale nell'ipotesi che la costante sia infinitamente grande. Solo allora è vero che la somma dei tre angoli d'ogni triangolo è uguale a due retti, e ciò si lascia dimostrare facilmente soltanto se si ammette per dato che la costante sia infinitamente grande.»1.

La geometria astrale di Schweikart e la non-euclidea di Gauss corrispondono pienamente al sistema di Saccheri e Lambert, nell'ip. ang. acuto. Anzi il contenuto della precedente notizia deriva immediatamente dalle proposizioni di Saccheri riportate nel «Conatuum» di Klügel e dal teorema di Lambert sull'area del triangolo. E poichè Schweikart, nella sua «Theorie» del 1807 cita le opere di questi due ultimi autori, così rimane accertata l'influenza diretta di {{Sc|

  1. Cfr. il t. VIII delle opere di Gauss, p. 180-81.