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C - Algoritmi a blocchi per il filtraggio adattativo

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${\begin{cases}{\frac {\partial E\left\{\left[e^{(m)}(n)\right]^{2}\right\}}{\partial k}}=0\\{\frac {\partial E\left\{\left[b^{(m)}(n)\right]^{2}\right\}}{\partial k}}=0\end{cases}}$

${\begin{cases}k^{(m)}E\left\{\left[b^{(m-1)}(n)\right]^{2}\right\}=E\left\{e^{(m-1)}(n)b^{(m-1)}(n-1)\right\}\\k^{(m)}E\left\{\left[e^{(m-1)}(n)\right]^{2}\right\}=E\left\{e^{(m-1)}(n)b^{(m-1)}(n-1)\right\}\end{cases}}$

(C.74)

porta alla seguente espressione ricorsiva per il calcolo dei coefficienti

$k^{(m)}={\frac {\sum _{i=0}^{n-1}e^{(m-1)}(i)b^{(m-1)}(i-1)}{\sqrt {\sum _{i=0}^{n-1}\left[e^{(m-1)}(i)\right]^{2}\sum _{i=0}^{n-1}\left[b^{(m-1)}(i)\right]^{2}}}}$

(C.75)

Dato che tale espressione ha la forma di una cross-correlazione tra le funzioni di errore di predizione in avanti e all’indietro, i coefficienti k( m ) vengono detti PARCOR (PARtial CORrelation). Noti i coefficienti k( m ) è possibile determinare i coefficienti del predittore come già visto nel Levinson-Durbin (dal quale il presente algoritmo deriva)

$\alpha _{m}^{(m)}=k^{(m)}$

$\alpha _{j}^{(m)}=\alpha _{j}^{(m-1)}-k^{(m)}\alpha _{m-j}^{(m-1)}\ 1\leq j\leq m-1$

(C.76)

Per chiarire ulteriormente la struttura degli errori di predizione è opportuno analizzare con un esempio la loro struttura. Per un predittore di ordine zero risulta

${\begin{cases}e_{0}(n)=x(n)\\b_{0}(n)=x(n)\end{cases}}$

(C.77)