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164 capitolo iv

numerevoli tentativi di dimostrazione, incominciati coi primi commentatori di Euclide (Proclo, Nasir Eddin....) e proseguiti fino a Legendre.

Ma le dimostrazioni proposte, o esplicitamente o nascostamente, ricorrono a qualche altra proposizione, equivalente al postulato V di Euclide, e non contenuta nel corpo di proprietà geometriche basato sulle ipotesi 1) .... 5).

Senza addentrarci nella storia dei tentativi sopra citati, giova a noi e basta tener presenti pochi nomi e poche date, che si legano più da vicino alla costituzione della Geometria non euclidea1.

John Wallis (1663) ha rilevato che il postulato delle parallele è necessario fondamento della teoria della similitudine, diguisachè dall’ammettere l’esistenza di triangoli simili si può dedurre la dimostrazione di quel principio.

Girolamo Saccheri, nel suo «Euclides ab omni naevo vindicatus....» (1773), parte dalla costruzione di un quadrilatero con tre angoli retti, e distingue le tre ipotesi che (in relazione alle proprietà 1) .... 5)) appariscono a priori possibili intorno al quarto angolo: che esso sia retto, ottuso o acuto. Dimostra che ciascuna di queste ipotesi si troverà verificata per ogni quadrilatero, nelle condizioni suddette, quando sia verificata in un caso particolare.

Stabilisce quindi, nei tre casi, la proprietà fondamentale di due rette di un piano perpendicolari ad una terza:

nella 1ª ipotesi esse saranno ovunque equidistanti (dal che segue il postulato euclideo delle parallele);
nella 2ª ipotesi, a partire dalla perpendicolare comune, andranno avvicinandosi;
nella 3ª ipotesi, all’opposto divergeranno.

L’ipotesi dell’angolo ottuso (2ª) viene quindi eliminata dal Saccheri, perchè contraddice all’infinità della retta. Contro l’ipotesi dell’angolo acuto l’autore ha addotto argomenti viziosi: ma egli era convinto a priori che tale ipotesi dovesse dimostrarsi impossibile!

Questo errore col quale termina l’opera del Saccheri, non toglie il pregio dei resultati da lui conseguiti, che noi abbiamo innanzi menzionati. Si aggiunga a questi il seguente:

Se vale l’ipotesi dell’angolo ottuso la somma degli angoli di un triangolo qualsiasi è sempre maggiore di due angoli retti; nell’ipotesi dell’angolo acuto essa è all’opposto minore di due retti. Se per un triangolo particolare la somma degli angoli è uguale a due retti, lo stesso accade per ogni triangolo, e sussiste l’ipotesi euclidea.

Quest’ultima conclusione è stata ritrovata, un secolo più tardi da Legendre, al termine dei suoi lunghi studii sulla teoria delle parallele.

  1. Per la storia di essa, ed anche per uno sviluppo succinto delle teorie che la costituiscono, vedasi l’art. VI di R. Bonola nella nostra citata raccolta.