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la geometria 165


J. H. Lambert, nella sua «Theorie der Parallellinien», pubblicata nel 1786 e scritta, pare, venti anni prima, discute nuovamente le tre ipotesi del Saccheri, il cui lavoro, secondo una plausibile supposizione del Segre, potè essergli conosciuto. Conclude che l’ipotesi dell’angolo acuto non può essere così facilmente rigettata come l’altra contraddicente all’infinità della retta.

Sorvolando sull’opera di F. C. Schweikart e di F. A. Taurinus, che la critica storica di Engel e Staeckel ha rivendicato tra i più prossimi precursori della Geometria non euclidea, possiamo dire che la costituzione definitiva di questa è dovuta a Gauss, Lobatschewsky e Bolyai.

Gli studii del primo, incominciati tra il 1792 e il 1797 proseguirono fino al 1832, e ci sono noti soltanto attraverso lettere del grande geometra.

L’opera di Lobatschewsky è contenuta nelle pubblicazioni, incominciate nel corriere di Kazan col 1826, mentre la prima pubblicazione sull’argomento del suo confratello ungherese risale al 1829.

Da Lobatschewsky e Bolyai sono svolte, senza arresti, le conseguenze della terza ipotesi del Saccheri, nella quale due rette di un piano perpendicolare ad una terza vanno divergendo; sono queste conseguenze che vengono a formare un corpo coerente di dottrina geometrica astratta, denominato da Gauss «Geometria non euclidea».

Da tali sviluppi scaturisce la prova della impossibilità di dimostrare il postulato d’Euclide sulle parallele, deducendolo dalle premesse sopra accennate.

Questa prova è implicitamente fornita dalle formule della trigonometria non euclidea, date da Lobatschewsky e Bolyai. Tuttavia i suddetti geometri non riuscirono a metterla in luce, così da escludere che, proseguendo nello studio della Geometria non euclidea, si pervenga mai ad una contraddizione. E lo stesso Gauss, che per proprio conto era giunto da lungo tempo ai principali teoremi di codesta Geometria, sembra aver acquistato la convinzione della sua possibilità logica, soltanto verso il 1830.


Questi particolari non hanno oggi che un interesse storico. La possibilità logica della Geometria non euclidea, e quindi l’indimostrabilità (nel senso accennato) dell’ordinario postulato delle parallele, è ormai fuori questione.

E di più si è pur riconosciuto che anche un’altra Geometria è possibile, ove si tolga dalle premesse 1) .... 5) l’ipotesi della infinità della retta, (prendendo la retta come una linea chiusa): si ha allora un corpo di dottrina geometrica astratto, che prende il nome da Riemann, altrettanto coerente come la Geometria di Lobatschewsky. Mentre questa corrisponde allo svolgimento della ipotesi dell’angolo acuto considerata dal Saccheri, la Geometria di Riemann risponde all’ipotesi dell’angolo ottuso.

Ma non possiamo proseguire il racconto degli ulteriori acquisti, conse-