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166 capitolo iv

guiti dalla scienza matematica in tale ordine d’idee; e lasciamo pertanto di dire quali contributi abbiano portato a questi studii dei geometri come Helmholtz, Beltrami, Cayley, Klein, Clifford, Lie, Poincarè, Veronese, Hilbert1.

Vi accenneremo in parte nel seguito. Seguiamo ora i fondatori della Geometria non euclidea nelle concezioni filosofiche suggerite dalla loro scoperta.


§ 10. Il problema dello spazio.

È un carattere peculiare dello spirito umano di essere portato a cercare nel mondo reale i modelli concreti delle sue creazioni. Questa disposizione passa quasi inavvertita presso le menti non nutrite di studii astratti, poichè i concetti che esse formano, resultato di associazioni prossime dei dati sensibili, si presentano appunto, fin da principio, come rappresentanti di oggetti reali. Tuttavia anche in questi casi, il procedimento che estende l’osservazione sperimentale è un procedimento di astrazione, pel quale si genera un concetto, cui si tendono a subordinare immediatamente le osservazioni nuove.

Ma quando si tratta di spiriti coltivati nelle scienze astratte, il processo costruttivo dei concetti si allontana smisuraamente dalle associazioni prossime dei dati sensibili, onde la creazione ideale che ne risulta appare completamente fuori della realtà; perciò appunto la ricerca di oggettivare l’astratto ci colpisce come un carattere peculiare di quelle menti.

Se qualcuno crede che questo sia un difetto riprovevole degli intelletti matematici, si può ben dire che il suo esame non ha oltrepassato la superficie della questione!

Giacchè il difetto dello spirito matematico, nei suoi minori rappresentanti, è precisamente tutto il contrario; cioè di non comprendere che un pensiero, il quale si appaghi di costruzioni astratte, senza la speranza, pur vaga, di cogliere in esse il quadro di una qualche realtà, sarebbe uno sterile istrumento dialettico.

«Scorgere in ogni concetto astratto, comunque definito con un processo logico costruttivo, la rappresentazione possibile di una realtà», tale è la veduta direttrice di quanti sposano alla facoltà di astrazione, una coscienza elevata dello scopo scientifico per cui essa viene esercitata.

Nè alcun rimprovero può farsi a chi cerchi codesto reale possibile, attraverso costruzioni ideali che si allontanano dai dati dell’osservazione immediata; tanto varrebbe rimproverare al genio l’ardire delle ipotesi, colle quali ei cerca di vedere al di là delle nebbie che limitano il comune orizzonte.

Questo ardire allora soltanto diverrà riprovevole, quando la ipotesi pos-

  1. Cfr. il nostro citato articolo sui Principii.