Pagina:Enriques - Problemi della scienza, 1906.djvu/185

la geometria

167

sibile sia accettata come vera o probabile senza adeguata verificazione, o comunque preoccupando il ricercatore adombri la veduta dei fatti che ad essa si palesino contrani.

I fondatori della Geometria non-euclidea, accordando ai loro sviluppi astratti il valore di un’ipotesi reale, furono certamente arditi; ma, come vedremo, essi non meritano il rimprovero cui sopra abbiamo accennato. Matematici, essi furono insieme filosofi, proponendo una questione che segna la più alta vittoria dello spirito critico; e come filosofi furono, nel miglior senso, positivisti, poichè cercarono una risposta ai loro dubbi nel fatto, e questo valutarono con giudizio sereno.

Mentre Kant lavorava a dimostrare il carattere psicologico dell’intuizione spaziale, cercando di distruggerne il senso fisico, Gauss rivolgeva la sua attenzione alle più precise misure degli angoli del triangolo geodetico Brocken, Hohehagen, Inselberg¹, per trarne la dimostrazione sperimentale della Geometria nell’ordine di approssimazioni che occorre considerare sulla nostra terra; e Lobatschewsky interrogava le parallassi delle stelle lontane, se anche in un tale ordine di misure sia da tenersi per valida la ordinaria teoria delle parallele, o se debba rimpiazzarsi colla teoria non euclidea, secondo la veduta già affacciatasi allo spirito di Schweikart, che a quella Geometria aveva dato il nome di «astrale».

Vediamo di renderci conto del valore di tali esperienze.

Per quanto abbiamo detto la questione delle parallele si può decidere, teoricamente, dall’ispezione di un solo triangolo: se in questo la somma degli angoli è uguale a due retti, sussiste la ipotesi d’Euclide, se è minore deve accettarsi l’ipotesi di Lobatschewsky, e se è maggiore quella di Riemann. In questi ultimi due casi, indicando con α la differenza tra la somma suddetta e due retti (la quale è positiva nel caso riemanniano) e con A l’area del triangolo, si può porre rispettivamente

${\frac {\alpha }{A}}=-{\frac {4}{\pi k^{2}}},$

o

${\frac {\alpha }{A}}=+{\frac {4}{\pi k^{2}}},$

e si dimostra quindi che k da un valore indipendente dal particolare triangolo considerato.

1. Di questo triangolo, i cui lati sono circa km. 69, 85, 197, parla Gauss nel § 28 delle sue «Disquisitiones circa superficies curvas».