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194 capitolo iv

esprimono condizioni per la possibilità di associare in un unico concetto astratto della superficie le varie rappresentazioni genetiche che vi si collegano.


Ai postulati che permettono di definire la superficie, riguardata internamente come varietà a due dimensioni di punti, si aggiungano quelli che caratterizzano le relazioni esterne delle linee sopra una superficie.

Appartengono a quest’ordine di relazioni le proprietà della divisione in parti di una superficie per mezzo di una linea-termine, quindi l’esistenza e la parità o disparità delle intersezioni di questa linea-termine con un altra linea, che congiunga due punti di parti diverse ecc.

La rappresentazione di proprietà siffatte si ottiene in un modo progressivamente determinato col l’estendersi del concetto di «linea sopra una superficie», a mano a mano che certe immagini attuali della linea come termine si associano a quelle di una linea generatrice di una superficie data.

Se si parte, p. es., dalla rappresentazione del piano, generato dalle sue rette nei varii modi possibili, sorge l’immagine del semi-piano limitato da una retta, e si ha quindi il postulato di Pasch, ad esprimere la proprietà di divisione seguente:

Se tre punti A, B, C di un piano sono tali che il segmento BC non sega la retta a ed il segmento AB la sega, il segmento AC segherà la a; cioè se B, C sono dalla medesima parte di a, ed A, B da parte opposta, anche A, C saranno da parte opposta.

Ora la questione di enunciare i postulati atti a definire in generale il concetto di «linea sopra una superficie», s’imbatte nella difficoltà di fissare un limite ad un processo costruttivo dell’intuizione che, partendo da certe famiglie di linee, va gradatamente estendendosi a famiglie più generali. Perciò è dubbio se ed in qual senso l’analisi matematica del problema possa condurre ad un resultato sotto qualche aspetto compiuto1.

Nondimeno le osservazioni precedenti ci hanno già indicato il modo di acquisto psicologico dei postulati in discorso; si tratta di associare l’immagine attuale di una linea, come termine divisorio di una superficie, a diverse immagini relative a generazioni possibili di questa.


Il passaggio dal continuo a due dimensioni a quello a tre, non dà luogo ad osservazioni veramente nuove; i postulati che caratterizzano le superficie generatrici valgono a definire questo continuo.

Ci limiteremo pertanto ad avvertire che il postulato delle tre dimensioni

  1. Citeremo i resultati in vario senso di Cantor, Peano, Jordan, e talune osservazioni sulle linee analitiche ecc. per cui rimandiamo al nostro citato Articolo sui «Principii».