Pagina:Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici.djvu/10

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G. Fubini

se una congruenza è W, appena ne siano date le forme fondamentali e permette infine di stabilire alcuni nuovi risultati per la densità di una congruenza.

Applicando questi teoremi alla teoria delle superficie, si ottengono nuove interpretazioni geometriche della curvatura assoluta e della torsione geodetica, si riconduce la teoria delle superficie nello spazio curvo allo studio di quelle rappresentazioni della sfera euclidea in sé stessa, per cui parti corrispondenti hanno area uguale. Si possono quindi generalizzare alcune formule ben note dello spazio euclideo per la teoria della superficie e dei sistemi tripli ortogonali, col cui aiuto si studiano tra l'altro quelle congruenze che per ogni deformazione della superficie di partenza, cui i raggi della congruenza si immaginino invariabilmente uniti, si dispongono sempre in ∞1 rigate di Clifford, e si trovano infine curiosi risultati per l'angolo che formano elementi lineari corrispondenti sulla superficie e sulla sua immagine piana.

L'applicazione di questi risultati alla teoria della superficie W conduce, tra l'altro, allo studio di notevoli coppie di elementi sferici, studio che si può anche interpretare nella metrica euclidea e che dà un significato geometrico (sebbene non semplice) della trasformazione di Lie per le superficie pseudosferiche, mentre risolve in nuovo modo il problema di determinare sulla sfera euclidea quei reticoli che la dividono in parallelogrammi infinitesimi equivalenti.

Lo studio della immagine Riemanniana di rette parallele porta a una nuova proprietà caratteristica delle superficie di Demartres (isocicliche)1, proprietà che mentre si può interpretare con la sola metrica euclidea, conduce a nuove proprietà delle superficie isocicliche e delle rigate isoterme (luogo delle binormali di una curva a torsione costante)2 degli spazii a curvatura costante.


  1. 1,0 1,1 Demartres. Annales de l'École Normale Superieure, T. 4 (1887).
  2. Bianchi. (A).