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Determinazione del cammino libero medio

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Se prendiamo $x$ abbastanza piccolo, anzi se prendiamo addirittura un elemento $dx$ l’esponenziale corrispondente $e^{-\alpha \,dx}$ si può sviluppare fermandosi al secondo termine, trascurando le potenze di $dx$ superiori alla prima. Avremo dunque

$W_{dx}\,=\,e^{-\alpha \,dx}\,=\,1\,-\alpha \,dx$

ma noi abbiamo già calcolato questa probabilità e abbiamo trovato

$W_{dx}\,=\,1\,-\,{\frac {\pi \,\varrho ^{2}}{l^{3}}}\,dx$ .

Confrontando queste due espressioni ricaviamo subito il valore di $\alpha$

$\alpha \,=\,{\frac {\pi \,\varrho ^{2}}{l^{3}}}\,=\,\pi \,n\,\varrho ^{2}$ .

E allora l’espressione generale di W diventa

43)	$W_{x}\,=\,e^{-{\frac {\pi \,\varrho ^{2}}{l^{3}}}x}$.

13. — Determinazione del cammino libero medio. — L’ultima formola ci permette di determinare la lunghezza del cammino libero medio. Seguendo sempre la dimostrazione del Clausius supponiamo che un gran numero di molecole N si muovano tutte nella direzione di $x$. Dividiamo il cammino progressivo in strati elementari di ampiezza $dx$ e il numero totale N delle molecole in classi $n_{1}$, $n_{2}$, $n_{3}$, ... $n_{r}$... delle quali $n_{1}$ sono quelle che attraversano un solo strato elementare, $n_{2}$ ne attraversano due, $n_{3}$ tre ecc. Le $n$ soddisfano all’equazione

$n_{1}\,+\,n_{2}\,+\,n_{3}\,+\,\dots \,+\,n_{r}\,+\,\dots \,=\,{\text{N}}$