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capitolo vi — § 32

Con queste osservazioni le definizioni precedenti si possono enunciare anche così:

Noi scriviamo $\lim _{x=a}y=b$ ($a,b$ numeri finiti) se, comunque si scelga un numero positivo $\varepsilon$ piccolo a piacere, esiste un numero $\sigma$ tale che, se $x$ appartiene a $G$, se $x\not =a$, ed $|x-a|<\sigma$, i valori corrispondenti alla $y$ sono tali che la differenza $y-b$ non superi $\varepsilon$ in valore assoluto.

Noi scriviamo $\lim _{x=\infty }y=b$ ($b$ numero finito) se, comunque si scelga un numero positivo $\varepsilon$ piccolo a piacere, esiste un numero $m$ tale che, se $x$ appartiene a $G$, e se $|x|>|m|$, i valori corrispondenti della $y$ sono tali che la differenza $y-b$ non superi $\varepsilon$ in valore assoluto.

Ed infine si possono dare le precedenti definizioni nella forma seguente, valida in entrambi i casi, affatto completa e precisa:

Si dice che $\lim _{x=a}y=b$ ($a$ finito o infinito, $b$ finito), se, preso ad arbitrio un numero $\varepsilon$ positivo (piccolo a piacere), esiste un intorno $\gamma$ di $a$, tale che in tutti i punti di questo intorno (il punto $a$ escluso), che appartengono al campo $G$, ove la $y$ è definita, la $y$ assume¹ valori, che differiscono da $b$ per non di più di $\varepsilon$, ossia che soddisfano alla

$|y-b|\leq \varepsilon$.

Questa disuguaglianza non varrà per tutti i valori di $y$, ma soltanto per quelli che corrispondono a punti di $\gamma$. Si noti che $\gamma$ varia in generale, quando $\varepsilon$ varia. Perchè, se $\gamma$ non variasse, tale disuguaglianza varrebbe, qualunque fosse \math>\varepsilon</math>, per tutti i valori di $y$ corrispondenti ai punti dell’interno fisso $\gamma$. Perciò ognuna delle corrispondenti differenze $|y-b|$, essendo minore di un numero $\varepsilon >0$ arbitrario, sarebbe nulla. Pertanto questi valori di $y$ sarebbero tutti uguali a $b$. Cioè esisterebbe un intorno $\gamma$ di $a$, in cui la $y$ avrebbe sempre lo stesso valore $b$.

Notiamo che porre la disuguaglianza

$|y-b|\leq \epsilon$

(1)

equivale a dire che entrambe le differenze $y-b$, $b-y$ sono algebricamente minori di $\varepsilon$. Infatti, quella di queste differenze, che è positiva, è uguale a $|y-b|$, ed è quindi per ipotesi non maggiore di $\varepsilon$; e quella delle due precedenti differenze, che è negativa, è certamente minore di $\varepsilon$, perchè $\varepsilon$ è positivo.

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1. Ricordo che si dice valore assunto dalla $y$ in un punto, per esempio, nel punto $x=c$, il valore di $y$ corrisponde al valore $c$ della $x$.