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capitolo vi — § 32

si deve per ogni numero $\sigma$ ammettere l’esistenza di punti $x$, differenti da $a$, in cui la $y$ è definita e che soddisfano alla $|x-a|<\sigma$; se $a=\infty$, si deve per ogni numero $m$ ammettere l’esistenza dei numeri $x$, per cui la $y$ è definita, e tali che $|x|>|m|$¹.

Così, per esempio, non avrebbe senso parlare del $\lim _{x=1}{\sqrt {x-2}}$, perchè la $y$ è definita soltanto nel campo $G$ formato dai valori della $x$, che non sono inferiori a $2$. Ed evidentemente vicino ad 1 ${\Big [}$per esempio, nell’intorno $(1-\sigma ,1+\sigma )$, ove $\sigma ={\frac {1}{2}}{\Big ]}$ non esistono valori di $G$.

Osservazione 2^a. Se i valori della $x$, di cui si parla nelle precedenti definizioni, sono scelti tutti in intorni a sinistra del punto $a$, allora, anzichè scrivere $\lim _{x=a}y$, si scrive spesso $\lim _{x=a-0}y$ (se $a$ è finito) oppure $\lim _{x=+\infty }y$ (se $a$ è infinito). Si scrive $\lim {x=a+0}$ oppure $\lim {x=-\infty }$, se i valori considerati della $x$ sono scelti in intorni destri del punto $a$. Le notazioni $\lim {x=a},\lim _{x=\infty }$ sono però usate anche in tali casi, se non vi è possibilità di un equivoco.

Si scrive anche $\lim _{x=a-}$ e $\lim _{x=a+}$, anzichè $\lim _{x=a-0}$ e $\lim _{x=a+0}$.

Così, per esempio, la $y=x+{\frac {|x-1|}{x-1}}$ è una funzione definita per tutti i valori della $x$, il punto $x=1$ eccettuato. Ed è $\lim _{x=1-0}y=0$. Infatti, se $\varepsilon$ è un numero piccolo a piacere, per i valori della $x$ dell’intorno $1-\varepsilon <x<1$ del punto 1 è $0-y|=|y|=|x+{\frac {1-x}{x-1}}|=|x-1|<\varepsilon$. In modo simile si prova che $\lim _{x=1+0}y=2$.

(Si ricordi che per $x<1$ è $|x-1|=|1-x|=1-x,{\frac {|x-1|}{x-1}}=-1$ e che per $x>1$ è ${\frac {|x-1|}{x-1}}=1$).

Osservazione 3^a. È essenziale notare che, pure esistendo il $\lim _{x=a}y$, può darsi benissimo che per $x=a$ la $y$ non sia definita, od anche che vi abbia un valore affatto distinto da $\lim _{x=a}y$, perchè,

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1. Questa proprietà si suole anche enunciare dicendo: Il punto $a$ è punto limite di $G$