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funzioni, limiti

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2° Sia $|p|<1$, $x<0$. In tal caso ${\frac {1}{|p|}}>1$, $y=-x>0$, $\lim _{x=-\infty }p^{x}=\lim _{x=+\infty }\left({\frac {1}{p}}\right)^{x}=\infty$.

3° Sia $|p|<1$; $x>0$; sarà, posto $q={\frac {1}{p}}$, $|q|>1$ e quindi $\lim _{x=+\infty }q^{x}=\infty$, donde $\lim _{x=+\infty }{\frac {1}{q^{x}}}=0$, ossia $\lim _{x=+\infty }p^{x}=0$.

4° Sia $|p|>1$; $x<0$; posto $q={\frac {1}{p}}$, sarà $|q|<1$ e quindi per il 2° caso $\lim _{x=-\infty }q^{x}=\infty$, donde $\lim _{x=-\infty }{\frac {1}{q^{x}}}=\lim _{x=-\infty }p^{x}=0$.

5° Per $p=1$ è $\lim _{\infty =x}p^{x}=1$ (perchè $p^{x}=1$ per ogni valore di $x$).

6° Per $p=-1$ ed $x$ intero, $p^{x}$ assume i valori $+1$ o $-1$, secondo che $x$ è pari o dispari; e quindi $\lim _{x=\pm \infty }p^{x}$ non esiste. Altrettanto avviene se $|p|=1$, e $p$ è un numero complesso.

§ 35. — Primi teoremi sui limiti.

Enunceremo e dimostreremo questi teoremi per le funzioni reali.

Tali teoremi valgono però, come apparirà evidente, anche per funzioni complesse.

È ben evidente che, se due quantità $y_{1}$, $y_{2}$ si avvicinano indefinitamente a (hanno per limite) due numeri finiti $l_{1}$, $l_{2}$, la loro somma, la loro differenza, il loro prodotto e il loro quoziente (se $l_{2}\not =0$) si avvicinano indefinitamente a $l_{1}+l_{2}$, $l_{1}-l_{2}$, $l_{1}\,l_{2}$, ${\frac {l_{1}}{l_{2}}}$ (nell’ultimo caso si suppone $l_{2}\not =0$). Questa semplice osservazione si enuncia rigorosamente, e in modo più generale, coi seguenti teoremi:

$\alpha )$ Se $\mathrm {y_{1},y_{2},\ldots y_{n}}$ sono funzioni della x definite in uno stesso gruppo G, e se, per esempio, per $\mathrm {x=a+0}$ esse hanno dei limiti $\mathrm {l_{1},l_{2},\ldots l_{n}}$ finiti, allora per $\mathrm {x=a+0}$, la somma $\mathrm {y_{1}+y_{2}+\ldots +y_{n}}$ ha per limite la somma $\mathrm {l_{1}+l_{2}+\cdots +l_{n}}$ dei limiti.

8 — G. Fubini, Analisi matematica.