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FUNZIONI, LIMITI

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$|y_{1}|>|{\frac {l_{1}}{2}}|,y_{i}\not =0$. In tale intorno $\alpha$ ha dunque significato il rapporto ${\frac {1}{y_{1}}}$. Analoga considerazione val se $l_{1}=\infty$.

Teorema. Se $\lim _{x=a}y_{1}=l_{1}$, è un numero finito non nullo, allora $\lim _{x=a}{\frac {1}{y_{1}}}={\frac {1}{l_{1}}}$. Se invece $l_{1}=\infty$, allora $\lim {\frac {1}{y_{1}}}=0$.

Se $y_{1}$ è differente da zero nei punti di un intorno $\alpha$ di a (distinti da a) e se $\lim _{x=a}y_{1}=0$, alora $\lim _{x=a}{\frac {1}{y_{1}}}=\infty$.

Se $l_{1}=\infty ,\lim {\frac {1}{y_{1}}}=0$ e vicerversa (§ 32, B, pag. 109). Supponiamo che $l_{1}\not =0$ sia un numero finito. Se $\epsilon$ è un numero piccolo a piacere, esiste un intrno $\beta$ di $a$, in cui $|y_{1}-l_{1}|<\epsilon {\frac {l_{1}^{2}}{2}}$. Se $\gamma$ è un intorno comune a $\beta$ e all'intorno $\alpha$, di cui parla la precedente osservazione, in tale intorno $\gamma$ sarà:

$|y_{1}|>\left|{\frac {l_{1}}{2}}\right|,|y_{1}-l_{1}|<\epsilon {\frac {l_{1}^{2}}{2}}$,

donde:

$\left|{\frac {1}{y_{1}}}-{\frac {1}{l_{1}}}\right|=\left|{\frac {y_{1}-l_{1}}{y_{1}l_{1}}}\right|<{\frac {\epsilon {\frac {l_{1}^{2}}{2}}}{l_{1}{\frac {l_{1}}{2}}}}=\epsilon$.

Per ogni numero $\epsilon$ esiste quindi un intorno $\gamma$ dove $\left|{\frac {1}{y_{1}}}-{\frac {1}{l_{1}}}\right|<\epsilon$; da ciò segue tosto il nostro teorema.

Corollario Se due funzioni $y_{2},y_{1}$ sono definite nello stesso gruppo $G$ ed hanno per $x=a$ limiti finiti $l_{2},l_{1}$, e se il limite di $y_{1}$ è differente da zero, allora la frazione ${\frac {y_{2}}{y_{1}}}$ ha significato (se il denominatore non è nullo) in un intorno $\alpha$ di a, ed il suo limite per $x=a$ è uguale al quoziente ${\frac {l_{2}}{l_{1}}}$ dei limiti di $y_{2}$ e $y_{1}$. Ciò si dimostra osservando che ${\frac {y_{2}}{y_{1}}}$ è il prodotto di $y_{2}$ per ${\frac {1}{y_{1}}}$.