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capitolo vi — § 35

Oss. Esistano ancora per $x=a$ i limiti delle $y_{1}$, $y_{2}$. Se $\lim y_{2}=\infty$, $\lim y_{1}\not =\infty$, allora ${\frac {y_{2}}{y_{1}}}$ ha per limite $\infty$.

Se $\lim y_{2}\not =0$, $\lim y_{1}=0$, e se il rapporto ${\frac {y_{2}}{y_{1}}}$ ha significato, allora $\lim {\frac {y_{2}}{y_{1}}}=\infty$.

Se $\lim y_{1}=\infty$, $\lim y_{2}\not =\infty$, allora $\lim {\frac {y_{2}}{y_{1}}}=0$.

Se dunque esistono i limiti di $y_{2}$ e di $y_{1}$, noi sappiamo trovare il limite del quoziente ${\frac {y_{2}}{y_{1}}}$ in tutti i casi, esclusi quelli che entrambe le $y_{1}$, $y_{2}$ tendano a zero, o che entrambe tendano all’infinito. Questi casi particolari saranno da noi studiati più tardi per altra via. È naturalmente inteso [nel caso che il $\lim y_{1}$ sia nullo] che si possa parlare del rapporto ${\frac {y_{2}}{y_{1}}}$ e che cioè nei punti di un intorno $\alpha$ di $a$ (il punto $a$ escluso), sia $y_{1}\not =0$¹.

$\delta )$ Sia $y=f(z)$, $z=\varphi (x)$; sia $\lim _{x=a}z=b$, $\lim _{x=b}y=c$. La $y$ si possa considerare come funzione $f[\varphi (x)]$ della $x$ in un intorno $a$. È intuitivo che sarà anche $\lim _{x=a}y=c$.

Se però in ogni intorno del punto $a$ esistono punti $x\not =a$, in cui la $z$ assume il valore $b$, bisogna in più ammettere che $f(b)=c$.

Infatti, preso un numero $\epsilon$ piccolo a piacere, della $\lim _{x=b}y=c$, si deduce che esiste un numero $\delta$ tale che per $z\not =b$ e $|z-b|>\delta$ è $|y-c|<\epsilon$. Dalla $\lim _{x=a}z=b$ si deduce che esiste un numero $\sigma$ tale che, se $x\not =a$ e se $|x-a<\sigma$ sia $|z-b|<\delta$. Sarà quindi anche, per quanto trovammo, $|y-c|<\epsilon$ e se $<\not =b$. La disuguaglianza $|y-c|<\epsilon$ vale anche se $z=b$ per il valore considerato della $x$, perchè per ipotesi in tal caso $y=f(b)=c$, Dunque, dato un numero $\epsilon$ piccolo a piacere, esiste un numero $\sigma$ tale che par $|x-a|<\sigma$ è $|y-c|<\epsilon$, Donde, per definizione di limite, $\lim _{x=a}y=c$.

In modo simile si tratta il caso che $c=\infty$, oppure $b=\infty$, ecc.

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1. Se fosse $l_{1}\not =0$, questa ultima condizione è sempre soddisfatta, come abbiamo già osservato.