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FUNZIONI, LIMITI

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Se si pone $\log _{a}(1+x)=z$, e quindi $x=a^{z}-1$, se ne deduce:

$\lim _{x=0}{\frac {z}{a^{z}-1}}=\log _{a}e$, donde $\lim _{<=0}{\frac {a^{z}-1}{z}}={\frac {1}{\log _{a}e}}=\log _{e}a$.

Se esponiamo$a=e$ si trova:

$\lim _{x=0}{\frac {\log _{e}(1+x)}{x}}=1$; $\lim _{x=0}{\frac {e^{x}-1}{x}}=1$.

Dalla prima riga di queste formole si vede quanto semplice diventi il $\lim _{x=o}{\frac {\log(1+x)}{x}}$, appena si assuma il numero e come base di un sistema di logaritmi. Poichè questo limite si presenta continuamente nel calcolo, noi adotteremo d'ora in poi (salvo esplicita dichiarazione in contrario) questo numero e come base del sistema di logaritmi. I logaritmi così ottenuti si diranno neperiani, iperbolici, naturali.

Per uno studio geometrico dei limiti precedenti di vegga l'esempio terzo.

Esempi.

1° Dimostrare che $\lim _{m=\infty }\left(1+{\frac {x}{m}}\right)^{m}=e^{x}$.

Ris. Posto ${\frac {m}{x}}=n$, si noti che

$\left(1+{\frac {x}{m}}\right)^{m}=\left[\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]^{z}$.

2° Se il capitale c è impiegato al tasso r (rapporto dell'interesse al capitale), esso, dopo un anno, diventa $c(1+r)$. Ma se il tasso è pagato per metà ad ogni semestre, il capitale dopo il 1° semestre è diventato $c\left(1+{\frac {r}{2}}\right)$; e se tutta questa somma viene impiegata allo stesso tatto per il 2° semestre, si avrà alla fine dell'anno una somma $c\left(1+{\frac {r}{2}}\right)^{2}$. In generale se ad ogni $n^{esima}$ parte dell'anno viene pagata la $n^{esima}$ parte dell'interesse, che viene anch'essa impiegata allo stesso tasso per la residua parte dell'anno, il capitale c, dopo un anno, è diven-