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CAPITOLO VI - § 38-39

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prossimazione raggiunto. Ora questo è possibile in molti casi. Per es., dall'esercizio 3° si deduce, posto ${\frac {b}{a}}=k$, che la quantità

(1)                              $\log _{e}k=\lim _{n=x}n({\sqrt[{n}]{k}}-1)$

è compresa, per ogni valore di n, tra

$n({\sqrt[{n}]{k}}-1)$ e ${\frac {n({\sqrt[{n}]{k}}-1)}{\sqrt[{n}]{k}}}$.

Cosicchè, se si pone $\log _{e}k=n({\sqrt[{n}]{k}}-1)$, l'errore commesso non supera

$\left|n({\sqrt[{n}]{k}}-1)\left(1-{\frac {1}{\sqrt[{n}]{k}}}\right)\right|$.

La (1) però così servire al calcolo approssimativo dei logaritmi iperbolici. Se ne ricava, per es., posto $k=2,n=16$ che $\log _{e}2=0,70$, con un errore non superiore a $0,03\cdots$. Poichè però calcolare la ${\sqrt[{10}]{2}}$ equivale a estrarre successivamente quattro radici quadrate, questo metodo di calcolare i logaritmi neperiani è troppo poco rapido.

§ 39. — Alcune applicazioni.

Se a è un numero reale $z=x+iy$ è un numero complesso, il simbolo $a^{z}=a^{x+iy}$ è un simbolo, a cui finora non abbiamo attribuito alcun senso. I matematici si servono però di tale simbolo specialmente quando $a=e$, ponendo con Eulero la seguente definizione:

$e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\operatorname {sen} y)$.

È questa definizione accetabile? è essa opportuna?

Essa è accettabile perchè prova di contraddizioni, e perchè se $y=0$, cioè se $z=x+iy$ è reale, essa non contraddice all'ordinario significato di tale simbolo.

Molte poi sono le ragioni, che rendono opportuna tale definizione e che noi stessi incontreremo in questo libro. Qui ne accenneremo due specialmente importanti.

1° Se $z=x+iy,z'=x'+iy'$, allora, per la definizione di Eulero, il teorema:

$e^{x}e^{x'}=e^{z+z'}$

è vero anche se $z,z'$ sono numeri complessi.