Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/152

136

CAPITOLO VI - § 40

---

due numeri $\tau _{1},\tau _{2}$ non negativi tali che i valori assunti da $f(x)$ nell'intervallo $8c-\tau _{1},c+\tau _{2})$ e quindi anche $L(c-\tau _{1},c+\tau _{2})$ sono compresi tra $f(c)-\tau$ ed $f(c)+\tau$. E anzi $\tau _{1}>0$, ed è pure $\tau _{2}\geq 0$, essendo $\tau _{2}=0$ soltanto se $c=b$. Per la stessa definizione di c è

$L(a,c-\tau _{1})<\lambda$

$L(a,c+\tau _{2})\geq \lambda$.¹

Ora $L(a,c+\tau _{2})$ è uguale al massimo dei due numeri $L(a,c-\sigma _{1})$, e $L(c-\sigma _{1},c+\sigma _{2})$ corrispondenti ai due intervalli parzial in cui si può dividere l'intervallo $(a,c+\tau _{2})$. E non potendo essere per le precedenti disuguaglianze $L(a,c-\tau _{1})\geq L(a,c+\tau _{2})$ sarò $L(c-\tau _{1},c+\tau _{2})=L(a,c+\sigma _{2})$. Dunque $La,c+\sigma _{2})\geq \lambda$ è compreso tra $f(c)+\epsilon$ ed $f(c)-\epsilon$. Cosicchè $\lambda \leq f(c)+\epsilon$, qualunque sia $\tau$. Dunque $\lambda \leq f(c)$. D'altra parte $f(c-\tau _{1})<\lambda$. Quindi $f(c)=\lim _{\tau _{1}=0}f(c-\tau _{1})\leq \lambda$. Unendo queste disuguaglianze si deduce che $f(c)=\lambda$, così come si doveva dimostrare.

Dimostrazione del 4° teorema e osservazioni critiche.

Supponiamo che il teorema non sia vero; che cioè l'intervallo (a, b) non sia divisibile in un numero finito di tali intervalli $j$. Se $\beta$ è un punto di (a, b) così vicino ad a che in ($a,\beta$) l'oscillazione di $f(x)$ sia minore di ε, l'intervallo ($a,\beta$) è divisibile in un umero finito di intervalli $j$, perchè esso stesso ed ogni sua parte è un intervallino $j$. [Che un tale punto $\beta$ esiste è conseguenza del fatto che $f(x)$ è continua per $x=a$. Se $\beta$ è un punto qualsiasi di 8$a,b$) tale che ($a,\beta$) sia divisbile nel modo voluto, altrettanto avverrà a fortiori di ogni intervallo ($a,\beta '$), se $a<\beta '<\beta$. E quindi, se$\daleth$ è un punto di (a, b) tale che $a,\daleth$) non sia divisibile in un numero finito di intervalli $j$, allora neanche ($a,\daleth '$) sarà divisibile in tal modo se $\beta \geq \daleth >\daleth$ Dividiamo i punti di (a, b), in due classi: ponendo in una classe i punti $\beta$ tali che ($a,\beta$) sia divisibile nel modo voluto, e nell'altra classe i punti di $\daleth$ tali che ($a,\daleth$) non sia così divisibile. Sia c il punto di divisione di tali due classi ($c\leq b$). Costruiamo se $c<b$ un intorno ($c-\delta ,c+\delta$) del punto c, in cui le oscillazioni di $f(x)$ non superi $\epsilon$ se fosse $c=b$ ci limiteremo ad un intorno ($c-\delta ,c$). Il punto $c-\delta$ sarà un punto β, e perciò l'intervallo ($a,c-\delta$) oppure ($c-\delta ,c$) secondo che $c<b$ oppure $c=b$ vediamo che anche l'intervallo ($a,c+\delta$) se $c<b$ oppure l'intervallo (a, c) se $c=b$ è divisibile nel modo voluto. Il primo caso è assurdo perchè $c+\delta$ è un punto $\daleth$; il secondo contrasta con l'ipotesi iniziale. Dunque il teorema è dimostrato (per assurdo).

Sia δ la minima lunghezza di uno di questi intervalli parziali $j$. Se c è un punto qualsiasi di (a, b), quella parte del segmento ($c-\delta ,c+\delta$) che è interna ad (a, b) sarà uguale o minore della somma dei tre intervallini $j$ consecutivi. In tale intorno di c dunque l'oscillazione $f(x)$ sarà minore di 3 ε (il quale è un numero prefissato ed arbitrio). Che per ogni punto c di (a, b) esiste un tale numero δ è conseguenza della stessa definizione di continuità; ora abbiamo in più dimostrato che si può scegliere un numero δ, che convenga a tutti i punti c dell'intervallo (a, b). Si poteva aspettare che al variare di c in (a, b) si fosse costretti a far variare i δ in modo che avessero lo zero per limite inferiore, e che perciò nessun numero δ andasse bene contemporaneamente per tutti i punti c. Il fatto che si può scegliere uno stesso numero δ per tutti i punti c si chiama anche il teorema della continuità uniforme e si enuncia dicendo che una funzione continua in un intervallo finito, estremi inclusi, è uniformemente continua.

1. Questa disuguaglianza vale anche quando $\tau _{2}=0$, ossia quando $c=b$. In tal caso $L(a,c+\tau _{2})=L(a,b)=M\geq \lambda$