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capitolo viii — § 50

§ 50. — Estensione alle funzioni complesse.

α) Se $y=f(x)=u(x)+iv(x)$ è una funzione complessa della variabile reale $x$, chiameremo derivata di $x$ e indicheremo con $y'=f'(x)$ ancora il

$\lim _{h=0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$,

quando questo limite esiste ed è finito. Ciò che avviene allora e allora soltanto che esistono e sono finite le $u'(x),v'(x)$; ed è in tal caso

$f'(x)=u'(x)+iv'(x)$.

β) In casi estremamente particolari si conviene talvolta di considerare delle variabili complesse $Z$ come funzioni di un'altra variabile pure complessa $z$; tale convenzione si pone per una $Z$ che sia uguale a una serie convergente, di cui lo $(n+1)^{esimo}$ termine sia il prodotto di una costante $k_{n}$ per $z^{n}$ o per ${\frac {1}{z^{n}}}$ (o più generalmente per $[z-\alpha ]^{n}$, dove $\alpha$ è una costante). Di ciò parleremo più a lungo in un altro capitolo. Qui ci basterà considerare il caso particolare che i termini di tale serie dopo lo $(n+1)^{esimo}$ siano nulli, ossia brevemente che $Z$ sia un polinomio:

(1)     $Z=a_{n}+a_{n-1}z+a_{n-2}z^{2}+\cdots +a_{0}z^{n}=P(z)$.

Anche nel campo delle variabili complesse chiameremo derivata e indicheremo con $Z'$ il limite del rapporto incrementale (se esiste). Per la funzione (1) tale derivata esiste e si calcola, come se si trattasse di variabili reali. Infatti

$Z'=\lim _{h=0}{\frac {P(z+h)-P(z)}{h}}=\sum _{j=i}^{n}a_{j}\lim _{h=0}{\frac {(z+h)^{j}-z^{j}}{h}}$.

Si noti che $h$ si deve considerare come un numero complesso $m+in$. Il limite per $h=0$ significa il limite per $m=n=0$. Si noti che

${\frac {(z+h)^{j}-z^{j}}{h}}={\frac {(z+h)^{j}-z^{j}}{(z+h)-z}}=(z+h)^{j-1}+z(z+h)^{j-2}+z^{2}(z+h)^{j-2}+\cdots +z^{j-1}$.

E per math>h=0</math> questa espressione ha per limite proprio $jz^{j-t}$ (tantp se le $a$ e le $z$ sono reali, quanto se sono complesse),