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DERIVATE, DIFFERENZIALI

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Sarà (ricordando che $\lim _{\Delta \,x=0}\Delta \,z=0$)

$y'_{x}=\lim _{\Delta \,x=0}{\frac {\Delta \,y}{\Delta \,x}}=\lim _{\Delta \,x=0}{\frac {\Delta \,y}{\Delta \,z}}\lim _{\Delta \,x=0}{\frac {\Delta \,z}{\Delta \,x}}=$

                                                  $f'\,(z)\varphi '(x)=y'_{z}z'_{x}$.¹

Cioè: Se y è una funzione derivabile dalla z, e la z è funzione derivabile della x, la derivata y'_x della y rispetto alla x uguaglia il prodotto della derivata di y rispetto alla z per la derivata della z rispetto alla x.

Osserv. Sia $y=f(z),z=\varphi (x)$; e tanto la $y$ che la $z$ si possano considerare come funzioni della $x$. Sarà quindi per definizione in tale ipotesi

               $dy=y'_{x}dx$               (1);               $dz=z'_{x}dz$               (2)

Ma è $y'_{x}=y'_{z}z'_{x}$. Quindi la (1) equivale alla $dy=y'zz'_{x}dx$, che per (2) si può scrivere:

{{centrato|                              $dy=y'_{z}dz$                              (3)

Questa formola, vera per definizione se $z$ è la variabile indipendete, è vera dunque anche se z non è la variabile indipendente (ma invece le $y,z$ sono pensate come funzioni di una terza variabile $x$).

Si noti che, per il teorema i derivazione delle funzioni inverse, essa è vera anche se la stessa $y$ si assume a variabile indipendente, e si considera come funzione di $y$.

In tal caso infatti, essendo $y'_{z}={\frac {1}{z'_{y}}}$, tale formola si riduce alla $dz=z'_{y}dy$.

Applicazione.

Siano $x=x(t),y=y(t)$ le coordinate di un punto, che al variare della $t$ descrive una curva. Siano $x(t),y(t)$ funzioni con derivata finita; e si possa in un certo intorno del punto $t=\alpha$ con-

1. Questa dimostrazione cessa di essere valida, se per valori di $\Delta \,x\not =0$ è $\Delta \,z=0$. Ma si osservi che $\Delta \,y=y'_{z}\Delta \,z+\epsilon \Delta \,z$, dove $\lim \epsilon =0$. Quindi in ogni caso

   $y'z=\lim _{\Delta \,x=0}{\frac {\Delta \,y}{\Delta \,x}}=\lim _{\Delta \,x=0}{\frac {\Delta \,z}{\Delta \,x}}+\lim _{\Delta \,x=0}{\frac {\Delta \,z}{\Delta \,x}}=y'_{z}z'_{x}$