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capitolo xi — § 71

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ha (per $h$ sufficientemente piccolo) il segno di $\theta h$, ossia il segno di $h$. E la (1) è perciò positiva. Quindi:

Se $\mathrm {f'(x)}$ è crescente per $\mathrm {x=a}$, la curva $\mathrm {y=f(x)}$ in un intorno abbastanza piccolo di $\mathrm {x=a}$ rimane al disopra della sua tangente nel punto $\mathrm {x=a}$; ciò che si enuncia dicendo che volge la concavità verso l'alto.

2° In modo simile si prova che

Se $\mathrm {f'(x)}$ è decrescente per $\mathrm {x=a}$, la curva $\mathrm {y=f(x)}$ in un intorno abbastanza piccolo di $\mathrm {x=a}$ rimane al disotto della sua tangente nel punto $\mathrm {x=a}$; ciò che si enuncia dicendo che essa volge la concavità verso il basso.

3° Se $f'(x)$ ha per $x=a$ un massimo o un minimo $f'(a+\theta h)-f'(a)$ ha per $h$ sufficientemente piccolo un segno costante, che non varia cambiando il segno di $h$. Quindi la (1) ha un segno che cambia, mutando il sengo di $h$.

Se $\mathrm {f'(x)}$ ha per $\mathrm {x=a}$ un massimo o un minimo, la curva $\mathrm {y=f(x)}$ attraversava la sua tangente nel punto $\mathrm {x=a}$; ciò che si enuncia dicendo che il punto $\mathrm {x=a}$ è un punto flesso per la curva $\mathrm {y=f(x)}$. (Cfr., p. es., la fig. 13, a pag. 159).

Se segue che in un punto di flesso $x=a$ l'angolo $\omega$ che l'asse delle $x$ forma con la tangente della curva $y=f(x)$ ha una valore massimo o minimo. Se dunque andiamo da un punto posto a sinistra ad un punto posto a destra del flesso, l'angolo $\omega$, nei casi più comuni, o diminuisce per poi aumentare, oppure aumenta per poi diminuire. In una parola, quando si cammina, attraversando il flesso, l'angolo $\omega$ da crescente diventa decrescente, o viceversa. In una parola cambia il verso in cui gira la direzione della retta tangente.

Ricordo che negli enunciati precedenti la frase « verso l'alto » [basso] è scritta invece della: « verso la direzione positiva [negativa] dell'asse delle $y$».

Se, p. es., $f''(a)>0$, allora $f(x)$ è crescente per $x=a$. Se $f''(a)<0$, allora $f'(x)$ è decrescente per $x=a$; se $f''(a)=0$, $f'''(a)\not =0$, allora $f'(x)$ ha un massimo o un minimo per $x=a$.

Dal precedente teorema si deduce quindi in particolare:

Se $\mathrm {f''(a)>o}$, la curva $\mathrm {y=f(x)}$ volge in $\mathrm {x=a}$ la concavità verso l'alto; se $\mathrm {f''(a)<0}$ essa volge in $\mathrm {x=a}$ la concavità verso il basso; infine, se $\mathrm {f''(a)=0}$, $\mathrm {f'''(a)\not =0}$, la curva ha un flesso nel punto $\mathrm {x=a}$.

Oss. Ricordiamo che, mentre in un punto $\mathrm {x=a}$ di flesso è $\mathrm {f''(a)=0}$, può darsi benissimo che $\mathrm {f''(a)=0}$ sia un punto di flesso; e ciò perchè, come già osservammo, può in un punto $x=a$ essere nulla la derivata di $f'(x)$, senza che in tale punto $f'(x)$ abbia un massimo o un minimo.

In un punto della curva ordinata $y>0$, anziché dire che