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CAPITOLO XII.
INTEGRALI
(Il lettore, a cui non importa affrettare la conoscenza del calcolo integrale, potrà par precedere la lettura del Cap. 13° a quella del presente Capitolo).
§ 74. — Primi teoremi.
α) Proponiamoci le seguenti domande fondamentali:
1° È ogni funzione la derivata di un'altra funzione ?
2° Tale funzione è determinata dall'ipotesi che la sua derivata valga ? E, se non è tale, quale è la sua determinazione?
L'intuizione permette di prevedere le risposte che si dovranno dare a tali domande.
Consideriamo la funzione (da determinarsi) come il valore che la distanza da un punto mobile su una retta ad origine fissa ha all'istante . Se noi ammettiamo lecita questa supposizione, le nostre domande si riducono (§ 47) semplicemente a queste : Può una qualsiasi funzione continua esiste pensata come misura della velocità che un punto mobile mobile su una retta possiede all'istante ? Data tale velocità , la distanza di dall'origine resta essa completamente determinata? oppure quale intedeterminazione possiede?
A noi appare come intuitivo che alla prima domanda si debba rispondere affermativamente; e appare pure evidente che, per dare la posizione di <matha>M</math> su all'istante , non basti dare la velocità , ma si debba anche assegnare la posizione di in un istante almeno, p. es., per . E, se anche una tale posizione è nota, sembra intuitivo che ne resti individuata la posizione di ad ogni altro istante.
Così di un treno che si muova su una linea nota noi sappiamo assegnare la posizione ad ogni istante, se conosciamo per ogni istante la velocità del treno , e conosciamo o l'ora e il punto di partenza, o anche, se si vuole, la posizione del treno su ad un'ora prefissata .
