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calcolo differenziale per le funzioni, ecc.

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ciato col dare alle $y,z,.....,t$ valori determinati, si suol indicare tale derivata col simbolo:

          $(f'_{x})_{y,z,.....,t={\text{cost.}}}$          o          $\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{y,z,.....\,,\,t\,=\,{\text{cost.}}}$.

È ancora da ricordare che nei casi più comuni si può calcolare $f'_{x}$ in un dato punto, derivando la $f$ rispetto alla $x$ e considerando $y,z,.....,t$ come costanti, e, soltanto dopo aver eseguito la derivazione, sostituire alle $x,y,z,.....,t$ le coordinate del punto che si considera.

Altrettanto dicasi per le derivate parziali della $f$ rispetto alla $y$, a alla $z$, ....., od alla $t$.

Queste derivata $f'_{x},f'_{y}$..... possono a loro volta essere funzioni derivabili e possedere derivate parziali. E noi con

$f''_{xx}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}$, $f''_{xy}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}$, $f''_{xx}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial z}}$, .....

indicheremo rispettivamente le derivate di $f'_{x}$ rispetto $x,y,z$, ecc.

Con

$f''_{yx}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}$, $f''_{yy}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}$, ecc.

indichiamo le derivata di $f'_{y}$ rispetto $x,y,$ ecc.

Queste nuove derivate si diranno derivate parziali (del secondo ordine) della $f$.

Le derivata di queste, se esistono, si diranno derivate parziali del terz'ordine e così via. Così, p. es.:

$f_{xy\,xzy}^{(5)}={\frac {\partial ^{5}f}{\partial x\,\partial y\,\partial x\,\partial z\,\partial y}}$

sarà quella derivata del 5° ordine che si ottiene derivando $f$ rispetto alla $x$, la derivata $f'_{x}$ così ottenuta rispetto alla $y$, la derivata $f''_{xy}$ così ottenuta rispetto alla $x$, la $f'''_{zyx}$ così calcolata rispetto alla $z$, e infine la $f''''_{xyxz}$ così ottenuta rispetto alla $y$.

Così, p. es., se

$f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+2\,yz+3\,zx$,

per ottenere $f'_{x}$ si deve derivare rispetto alla $x$ considerando le $y,z$ come costanti (espressioni aventi derivata nulla rispetto alla $x$). Si ha così che $y^{2},z^{2},yz$ hanno derivata nulla, $xy$ ha per derivata $y$, ecc; cosicchè:

${\frac {\partial f}{\partial x}}=f'_{x}=2x+y+3z$.