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capitolo xiii — § 80

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Analogamente si troverebbe:

${\frac {\partial f}{\partial y}}=f'_{y}=2y+x+2z$,

${\frac {\partial f}{\partial z}}=f'_{z}=2z+2y+3x$.

Ciascuna di queste tre derivate è a sua volta una funzione delle $x,y,z$ che si può derivare rispetto alla $x$, o alla $y$, o alla $z$. Si hanno così $3.\,3=9$ derivate del secondo ordine della

$f(x,y,z)$.

Così, p. es., derivando ${\frac {\partial f}{\partial x}}=f'_{x}$ rispetto alla $x$, o alla $y$, o alla $z$, si ottengono le tre derivate che indichiamo rispettivamente con

${\frac {\partial ^{f}}{\partial x^{2}}}=f''_{xx}$, ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}=f''_{xy}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial z}}=f''_{xz}$;

e che, nel nostro caso, sono ordinatamente uguali a $2$, $1$, $3$</math>. In modo simile si trovano le altre 6 derivate del 2° ordine

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}=f''_{yz}$, ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=f''_{yy}$, ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial z}}=f''_{yz}$

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial z\,\partial x}}=f''_{zx}$, ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial z\,\partial y}}=f''_{zy}$, ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}=f''_{zz}$.

Dalle derivate di second'ordine si giunge facilmente alle derivate di terz'ordine e di ordine superiore mediante nuove derivazioni rispetto alle variabili $x$, $y$, $z$; tutte queste derivate sono nell'esempio precedente uguali a zero.

$\beta$) Non tutte le derivate successive definite in $\alpha$) sono però distinte, almeno finchè restiamo nel caso più comune ed importanti di funzioni aventi finite e continue tutte le derivate che consideriamo e finchè consideriamo soltanto punti interni alla regione, ove sono soddisfatte queste condizioni. Noi dimostreremo infatti che per tali funzioni l'ordine in cui più derivazioni si eseguono non ha alcuna influenza sul risultato finale: che p. es., se $f$ è una funzione delle $x$, $y$, $z$, valgono nelle nostre ipotesi le uguaglianze:

$f''''_{x,x,y,z}=f''''_{z,y,z,x}=f''''_{x,z,y,x}=f''''_{y,x,z,x}=$ ecc.

perchè tutte queste derivate sono state ottenute derivando due volte rispetto alla $x$, una volta rispetto ad $y$, una volta rispetto