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calcolo differenziale per le funzioni, ecc.

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Noi risponderemo affermativamente a queste domande: ciò che basta per la parte teorica di simile studio. nei casi pratici bisognerò di più, se si vogliono evitare troppo lunghi calcolo numerici, che $|y_{n}-y|$ sia già piccolo, quando $n$ non è molto grande, ossia che le $y_{n}$ tendano abbastanza rapidamente al loro limite $y$.

E cominciano anzitutto ad osservare che, affinchè sia lecito scrivere le (3) bisogna che $\psi (x,y_{1}),\psi (x,y_{2}),.....,\psi (x,y_{n}),.....$ siano espressioni non prive di significato, ossia che i punti $(x,y_{1})(x,y_{2}),.....(x,y_{n}).....$ appartengono al campo ove è definita la $\psi$, che sia cioè:

$|x-x_{0}|\leq h,|y_{i}-y_{0}|\leq k,|y_{2}-y_{0}|\leq k,.....,|y_{n}-y_{0}|\leq k$.

Osserviamo, che essendo $\psi (x,y)=0,\psi '_{n}(x,y)=0$ per $x=x_{0},y=y_{0}$, noi potremo, per la supposta continuità di queste funzioni ,scegliere due numeri $h_{1}\leq h,k_{1}\leq k$ così piccoli che per $|x-x_{0}|\leq h_{1},|y-y_{0}|\leq k_{1}$ il massimo $H$ di $|\psi '(x,y)|$ sia minore di $1$, e impiccolire poi il numero $h_{1}$ in guisa che il massimo $M$ di $|y_{1}-y_{0}|=|c(x-x_{0}=+\psi (x,y_{0})|$ soddisfi alla $M{\frac {1}{1-H}}\leq k_{1}$. Sarà cioè, riassumendo:

(4)     $\left\{{\begin{matrix}{\text{(per}}|x-x_{0}|\leq k_{1}\leq h{\text{;}}|y-y_{0}|\leq k_{1}\leq k{\text{),}}\\{\text{massimo di}}|\psi '_{y}(x,y)=H{\text{, massimo di}}|y_{1}-y_{0}|=M\\H<1,M{\frac {1}{1-H}}\leq k_{1}{\text{, e quindi}}\,afortiori\mathrm {\,} M\leq k\end{matrix}}\right.$

Indicheremo con $\delta$ il campo definito dalle $|x-x_{0}|\leq h_{1},|y-y_{0}|\leq k_{1}$. DImostreremo che, se $|x-x_{0}|\leq h_{1}$ tutti i punti $(x,y_{1}),(x,y_{2}),.....,(x,y_{n}),.....$ appartengono a $\delta$. Intanto dalle (4) segue $|y_{1}-y_{0}|\leq M\leq k$; cosicchè il punto $(x,y_{1})$ appartiene certo a $\delta$; dimostreremo che altrettanto avviene del punto $(x,y_{n})$. Usando il metodo di induzione completa, basterà dimostrare che $(x,y_{n})$ appartiene a $\delta$, supponendo già dimostrato che i precedenti punti $(x,y_{m})$ per $1\leq m\leq n-1$ appartengono a $\delta$.

In tal caso dalle (3) segue:                $|y_{m}-y_{m-1}|=|\psi (x,y_{m-1})-\psi (x,y_{m-2})|{spazi|15}<math>(2\leq m\leq n)$

che per il teorema della media è il valore assoluto del prodotto di $(y_{m-1}-y_{m-2}$ per un valore intermedio di $\psi '_{n}(x,y)$. Questo valore intermedio, per le (4), non supera $H$, cosicchè $|y_{m}-y_{m-1}\leq H|y_{m-1}-y_{m-2}|$.

Ed essendo $|y_{1}-y_{0}|\leq M$, se ne deduce successivamente $|y_{2}-h_{1}|\leq HM,|y_{2}-y_{2}|\leq H|y_{2}-y_{1}|\leq H^{2}M$, in generale

(5)               $|y_{m}-y_{m-1}\leq H^{m-1}M$          $(1\leq m\leq n)$.

Ora:

(6)          $y_{n}=y_{0}+(y_{1}-y_{0})+(y_{2}-y_{1})+.....+(y_{n}-y_{n-1})$

donde:

(7) $|y_{n}-y_{0}|\leq M+HM+H^{2}M+...+H^{n-1}M=M(1+H+...+H^{n-1})=$

$=M{\frac {1-H^{n}}{1-H}}<{\frac {M}{1-H}}\leq k_{1}$.

Da qui segue tosto che anche $(x,y_{n})$ appart'ene a $\delta$. Per dimostrare che esiste ed è finito $y=\lim _{n=\infty }y_{n}$, basterà per la (6) provare che esiste ed è finita la somma $y$ della serie

(8)          $y_{0}+(y_{1}-y_{0})+(y_{2}-y_{1})+.....+(y_{n}-y_{n-1})+.....$

Ciò che è evidente, perchè questa serie è totalmente convergente per $|x-x_{0}|\leq h_{1}$, poichè da (5) segue che i valori assoluti dei suoi termini sono (a partire dal secondo) ordinatamente minori dei termini della serie

$M+MH+MH^{2}+.....$

che è una progressione geometrica decrescente (si ricordi che $H<1$) a termini costanti.