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calcolo differenziale per le funzioni, ecc. |
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che è differente da zero per 
. Se ne ricaverà che dalla (2) si potrà dedurre, risolvendo, 
come funzione 
della 
derivabile ed ugualle a 
per 
.
Sostituendo questo valore i 
, se ne deduce il valore di 
come funzione derivabile 
della , che per si riduce ad
Esistono cioè due funzioni 
derivabili, soddisfacenti alle equazioni date e che, per 
, diventando rispettivamente uguali ad 
e 
.
Ciò che si poteva del resto dimostrare, estendendo ai sistemi di equazioni il metodo con cui abbiamo studiato il caso di una equazione sola. E vale anche il teorema di unicità, che cioè in un intorno di non esistono altre funzioni soddisfacenti alle proprietà enunciate. Il calcolo di 
, 
si effettua nel modo più rapido osservando che, se nelle 
sostituiamo al posto di ed i loro valori 
in funzione della , otteniamo due funzioni 
e 
della sola identicamente nulle, le cui derivate (totali) rispetto alla saranno quindi anch'esse nulle. Quindi, derivando
e 
rispetto alla , quando vi si considerino e come funzioni della ed applicando quindi il teorema del ù 84, 
, ottiene:
,
.
Queste due uguaglianze si possono considerare come due equazioni di primo grado nelle 
, che saranno risolvibili con la regola di Kramer, se, come abbiamo supposto,
;
e di determineranno in tal caso le derivate cercate.
) Si abbia ora il sistema delle due equazioni
,
.
