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capitolo xiv — § 89-90

Nello

$\int _{\alpha }^{\backepsilon }f(x,y)dx$

abbiamo supposto $x$ e $\beta$ dipendenti da $y$; indicheremo questo fatto sostituendo $z$ e $t$ (supposte funzioni di $y$) ai limiti di integrazione. Otterremo lo

$\int _{z}^{t}f(x,y)dx$

che indicheremo con $F$. Il nostro integrale allora che è funzione delle $y,z,t$, tutte funzioni di $y$, sarà funzione composta di $y$. Avremo dunque (§ 84, $\alpha$)

${\frac {dF}{dy}}=\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)_{z,t={\text{cost.}}}y'_{y}+\left({\frac {\partial F}{\partial z}}\right)_{y,t={\text{cost.}}}z'_{y}+\left({\frac {\partial F}{\partial t}}\right)_{y,z={\text{cost.}}}t'_{y}$

Se però le $z,t$ fossero funzioni anche della $x$, questa formola si scriverebbe più correttamente nel modo seguente:

$\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)_{x={\text{cost.}}}=\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)_{x,z,t={\text{cost.}}}y'_{y}+\left({\frac {\partial F}{\partial z}}\right)_{z,y,t={\text{cost.}}}z'_{y}+\left({\frac {\partial F}{\partial t}}\right)_{x,y,s={\text{cost.}}}t'_{y}$

Ora per trovare $\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)_{x,z,t={\text{cost.}}}$ si devono considerare $z,t$ come costanti, ossia come indipendenti dalla $y$. Questa derivata si calcola dunque col metodo svolto più sopra. Si ha cioè

$\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)_{x,z,t={\text{cost.}}}=\int _{x}^{t}f'_{y}(x,y)dx$.

Così sappiamo che, essendo $z$ il limite inferiore dell'integrale, è ${\frac {\partial F}{\partial z}}=-f(z,y)$; e che, essendo $t$ il limite superiore, ${\frac {\partial F}{\partial t}}=f(t,y)$. Essendo poi $y'_{y}=1$ dalle precedenti formole dedurremo infime, posto di nuovo $z=\alpha ,t=\beta$,

$\left[\int _{\alpha }^{\beta }f(x,y)dx\right]'_{y}=\int _{\alpha }^{\beta }f'_{y}(x,y)dx+f(\beta ,y)\beta '_{y}-f(\alpha ,y)\alpha '_{y}$

Anche qui è ammesso, p. es., che le $f,f'_{y},f''_{yy}$ sieno finite e conitnue.

Questa formola si riduce a quella trovata più supra, se $\alpha '_{y}=\beta '_{y}=0$, ossia se le $\alpha ,\beta$ sono indipendenti dalla $y$; ciò che era prevedibile a priori.

§ 90. — Differenziali esatti in due variabili.

$\alpha$) Il problema fondamentale del calcolo integrale per le funzioni di una sola variabile consiste nel determinare una funzione, di cui è data la derivata $F(x)$ o, ciò che è lo stesso, il differenziale $F(x)dx$.

Il problema analogo per le funzioni di due variabili consiste nel determinare una funzione $f(x,y)$ di due variabili $x,y$, di cui sono date le due derivate parziali del primo ordine, ossia di trovare una funzione $f(x,y)$ soddiscafence alle:

               ${\frac {\partial f}{\partial x}}=M(x,y)$,          ${\frac {\partial f}{\partial y}}=N(x.y)$,          (1)