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capitolo xv — § 96

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Perciò: La $\mathrm {S(a,b)}$ è compresa tra il limite inferiore delle $\Sigma M\delta$, e il limite superiore delle $\Sigma m\delta$.

Fig. 33.

$\beta$) Sarà bene illustrare questo procedimento per le funzioni $F(x)\geq \,0$ ricorrendo all'interpretazione citata di $\int _{a}^{b}F(x)dx$ come area della figura piana Fig. 34.(rettangoloide) compresa tra l'asse delle $x$, la curva $y=F(x)$, e le parallele dell'asse delle $y$, i cui punti hanno per ascissa rispettivamente $a$ oppure $b$.

Nella fig. 33 sono disegnati per l'intervallino parziale $delta_{1}$ il minimo $m_{1}$ e il massimo $M_{1}$ di $F(x)$.

Nella successiva fig. 34 (in cui per chiarezza si è disegnata una curva $y=F(x)$ di più semplice andamento) è reso ben evidente che un prodotto $\delta _{i}m_{i}$ è l'area di un rettangolo avente per base $\delta _{i}$ e tutto interno alla nosra figura (i rettangoli $APA'_{1}A',A_{1}P_{1}A'_{2}A'_{1}$, ecc); cosicchè $\Sigma m_{i}\delta _{i}$ misura l'area di un poligono che è tutto contenuto nel nostro rettangoloide ed ha perciò un'area non maggiore di quella del nostro rettangoloide.