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Gli integrali definiti e le funzioni additive, ecc.

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Invece i numeri $M_{1}\delta _{1},M_{2}\delta _{2}$, ecc. sono l'area dei rettangoli $QA_{1}A'_{1}A',Q_{1}A_{2}A'_{2}A'_{1}$, ecc., la cui somma è un poligono, che contiene il nostro rettangoloide, e la cui area è perciò non minore dell'area del rettangolo stesso.

Riesce così resa intuitiva la nostra affermazione.

Del resto tutti gli altri esempio del paragrafo precedente potrebbe servire altrettanto bene ad illustrare la nostra affermazione.

$\gamma$) Ricordiamo la precedente formola: $\int _{a}^{b}F(x)dx=\Sigma {\bar {F}}_{i}\delta _{1}$.

La lunghezza di $\delta _{i}$ di un intervallo parziale non è che l'incremento $dx$ subito dalla $x$ nel passare da un estremo all'altro. Se noi scriviamo $dx$ al posto di $\delta _{i}$, e sostituiamo al $\Sigma$ greco un S maiuscolo latino, che la scrittura corrente può aver deformato nel segno $\int$, intendiamo il perchè della notazione usata per indicare gli integrali definiti.

§ 96 bis. — Il metodo dei rettangoli
per il calcolo approssimato degli integrali definiti.

$\alpha$ Abbiamo riconosciuto al § 96 che, diviso l'intervallo $(a,b)$ in un numero finito di intervalli parziali $\delta _{i}$, si ha:

$\int _{a}^{b}F(x)dx=\Sigma {\bar {F_{i}}}\delta _{i}$

ove ${\bar {F}}_{1}$ è uno dei valori assunti da m<ath>F(x)</math> in $\delta _{i}$, scelto in modo conveniente. Cosicchè, se noi, data $F(x)$, e scelti i $\delta _{i}$, sapessimo scegliere tali valori ${\bar {F}}_{i}$, il calolco dell'integrali sarebbe ridotto a operazioni elementari (somma dei prodotti). Ma poichè invece in generale non sappiamo scegliere tali ${\bar {F}}_{i}$, sostituiamo ad ${\bar {F}}_{i}$ uno qualsiasi $F_{i}$ dei valori che $F(x)$ assume in $\delta _{i}$, assumendo poi la somma $\Sigma F_{i}\delta _{i}$, come valore approssimato del nostro integrale. È questo un procedimento molto usato; la teoria, d'accordo con l'intuizione, lo giustifica, come vedremo in $\beta$), provando che l'approssimazione raggiunta si potrà render grande a piacere, cioè che la differenza $\int _{a}^{b}F(x)dx-\Sigma F_{i}\delta _{i}$ si può render pilla a piacere in valore assoluto, prendendo tutti i $\delta _{i}$ abbastanza piccoli (e ciò indipendentemente dal modo con cui si è scelto il valore $F_{i}$ di $F(x)$ in <math>\delta_1/math>).