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gli integrali definiti e le funzioni additive, ecc.

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il rettangoloide, di cui vogliamo calcolare l'area. Dividiamo la base del rettangoloide in $2\,n$ parti uguali; indichiamo i punti di divisione con $a_{1}=a,a_{2},a_{3},.....,a_{n+1}=b$ e conduciamo per tali punti le ordinate $y_{1},y_{2},y_{3},.....y_{2n+1}$. Se traccio i segmenti {{centrato|$A_{1}A_{2},A_{2},A_{3},.....,A_{2n}A_{2n+1}$, ottengo tanti trapezi $A_{1}A_{2}a_{1}a_{2},A_{2}A_{3}a_{2}a_{3},.....,$ la cui somma ci dà un poligono tutto interno al rettangoloide $A_{1}A_{2n+1}a_{1}a_{2n+1}$; quindi la somma delle aree di detti trapezi ci darà un valore approssimato per difetto dell'area del rettangoloide e quindi un valore approssimato per difetto di $\int _{a}^{b}f(x)dx$.

Ora, se con $B$ indico il segmento $ab=a_{1}a_{2n+1}$ sarà ${\frac {B}{2\,n}}$ il valore di ognuna delle $2\,n$ parti uguali in cui esso è stato diviso, ossia l'altezza di ognuno dei trapezi ottenuti; le basi di questi essendo poi rispettivamente le ordinate $y_{1}y_{2},.....,y_{2n+1}$, sarà:

area $a_{1}A_{2}a_{1}a_{2}={\frac {B}{2\,n}}{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}$

area $A_{2}A_{3}a_{2}a_{3}={\frac {B}{2\,n}}{\frac {y_{2}+y_{3}}{2}}$

$.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.$

area $A_{2n}A_{2n+1}a_{2n}a_{2n+1}={\frac {B}{2\,n}}{\frac {y_{2n}+y_{2n+1}}{2}}$.

E l'area totale del poligono interno al rettangoloide sarà la somma delle aree precedenti

${\frac {b}{2\,n}}\left\{{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}+{\frac {y_{2}+y_{3}}{2}}+.....+{\frac {y_{2n}+y_{2n+1}}{2}}\right\}$.

Osservando che tutte le ordinate $y$ compaiono ciascuna due volte nella formula precedente tranne $y_{1}$ e $y_{2n+1}$, potremo anche scrivere:

               ${\frac {B}{2\,n}}\left\{{\frac {y_{1}+y_{2n+1}}{2}}+y_{2}+y_{3}+.....y_{2n}\right\}$          (1)

come un valore approssimato per difetto di $\int _{a}^{b}f(x)$.

Cerchiamo analogamente un valore approssimato per eccesso dell'area della nostra figura; cerchiamo cioè un poligono che

21 — G. Fusini, Analisi matematica.