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capitolo xv — § 98

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(potendo esser nulla agli estremi dell'intervallo parziale considerato). Si applicano a ciascuno di questi intervalli parziali i metodi precedenti. La somma dei valori approssimati in difetto così ottenuti, e la somma dei valori approssimati in difetto così ottenuti, e la somma dei valori approssimati per eccesso costituiranno un valore approssimato in difetto, e un vaore approssimato per eccesso del nostro integrale.

$\epsilon$) Il metodo precedente si può generalizzare, dividendo $(a,b)$ in $2n$ parti $d_{1},d_{2},d_{3},.....,d_{2n-1},d_{2n}$. Detti ancora $a_{2},a_{3},.....,a_{2n}$ i punti di divisione, si possono ripetere le precedenti considerazioni, purchè alle (1), (2) si sostituiscano le:

$d_{1}\left({\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}+{\frac {y_{2}+y_{3}}{2}}\right)+d_{3}\left({\frac {y_{3}+y_{4}}{2}}+{\frac {y_{4}+y_{5}}{2}}\right)+.....$

$.....+d_{2n-1}\left({\frac {y_{2n-1}+y_{2n}}{n}}+{\frac {y_{2n}+y_{2n+1}}{2}}\right)$; (1)^bis

$2(d_{1}y_{2}+d_{3}y_{4}+.....d_{sn-1}y_{2n})$. (2)^bis

Queste formole, più incomode al calcolo numerico delle (1), (2), danno però approssimazioni migliori, quando si abbia cura di disegnare molti intervallini parziali in corrispondenza ai tratti, ove la nostra curva si allontana rapidamente dalla sua tangente.

$\zeta$ ) Si può usare anche una sola di queste formole, quando però si sappia apprezzare l'errore commesso. Indicati ancora con $a_{4}$ i punti di divisione (cosicchè $a_{2i\pm 1}=a_{2i}\pm d_{2i}$), posto $y_{s}=f'(a_{s})$ e $y'_{s}=f'(a_{s})$, sarà per la formola di Taylor-Lagrange $y_{2i\pm 1}=f(a_{2i}\pm d_{2i})=y_{2i}\pm d_{2i}y'_{2i}+{\frac {1}{2}}d_{2i}^{2}\beta _{2i\pm 1}$ dove le $\beta$ sono valori intermedii di $y''$. Poichè $d_{2i}=d_{2i-1}$, il valore assoluto della differenza tra (1)_bis e (2)_bis (a cui tale errore non può essere superiore) non supera (supposto finito il limite superiore $H$ di $|y''|$) ${\frac {1}{2}}H(d_{2}^{2}+d_{4}^{2}+.....+d_{2n}^{2})$. Se, p. es., i $d$ sono tutti uguali tra loro, e quindi a ${\frac {B}{2\,n}}$, tale errore non supera ${\frac {HB^{2}}{8\,n}}$, che tende a zero per $\mathrm {n=\infty }$ (cfr. questo § 98, $\alpha$, pag. 322).

$\eta$ Le (1), (2) si prestano bene ad un calcolo meccanico; le (1)_bis, (2)_bis, oltre alle più semplici (1), (2) si prestano anche a un calcolo grafico.