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capitolo xvi — § 106 — funzioni additive, ecc.

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dove l'integrale doppio deve essere esteso al campo $\sigma$ (la cui rotazione genera $S$). Vedemmo (§§ 101-102) che ${\frac {f\,x\,d\sigma }{\sigma }}$ e l'ascissa $x_{g}$ del centro di gravità di $\sigma$ considerato come l'anima omogenea, il quale centro descrive nella rotazione attorno all'asse delle $z$ un cerchio, la cui periferia vale $2\pi x_{g}=2\pi {\frac {f\,x\,d\sigma }{\sigma }}={\frac {V}{\sigma }}$. Dunque (teor. di Guildino):

Il volume V generato dalla rotazione di un campo piano $\sigma$ attorno a un asse complanare che non l'attraversa vale il prodotto dell'area di $\sigma$ per la lunghezza della circonferenza descritta dal suo centro di gravità.

Esempi.

1° Sia, p. es., dato un cerchio $C$ nel piano $xz$, non intersecante l'asse delle $z$. Rotando attorno a quest'asse, esso genera un toro di rivoluzione, di cui si può facilmente col precedente teorema calcolare il volume $V$. Se $r$ è il raggio del cerchio $C$, $d$ la distanza del suo centro dall'asse dele $z$, si trova

$V=2\,\pi ^{2}\,r^{2}\,d$,

perchè il centro di gravità di un'area circolare coincide col suo centro.

2° Un semicerchio avente il diametro sull'asse delle $z$ e un raggio $r$ ha per area ¹/₂$\pi r^{2}$, e genera rotando una sfera di volume ${\frac {4}{3}}\pi r^{3}$; la distanza $\lambda$ dal centro di gravità del semicerchio dall'asse delle $z$ è dunque data dall'equazione

${\frac {4}{3}}\pi r^{3}=$¹/₂$\pi r^{2}$. $2\pi \lambda$ cioè $\lambda ={\frac {4\,r}{3\,\pi }}$.

3° Lo studioso generalizzi questa formola ad una semiellisse, ricordando la formola a noi nota del volume di un ellissoide di rotazione.

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