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CAPITOLO XVIII.

CAMBIAMENTO DI VARIABILI NELLE FORMOLE
DEL CALCOLO DIFFERENZIALE E INTEGRALE

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§ 107. — Esempi di cambiamento di variabili in formole di calcolo differenziale.

Noi, piuttosto di dare una teoria generale, diamo alcuni esempi del come sia facile risolvere problemi di questo tipo. E supporremo senz'altro soddisfatte tutte le condizioni, che ci permetteranno di applicare i teoremi che invocheremo (p. es., derivate finite, oppure finite e continue, denominatori differenti da zero).

I. Siano $x=x(t),y=y(t)$ due funzioni di $t$ definite nello stesso intervallo. Dalla prima di esse si possa dedurre $t$ come funzione $t(x)$ della $x$. Coicchè, sostituendo nella seconda, si possa pensare $y$ come funzione della $x$.

Si calcolino $y'_{x},y''_{x},.....$, supponendo note $x'_{t},y'_{t},x''_{t},y''_{t},.....$.

È: {{centrato|$y'_{x}={\frac {dy}{dx}}={\frac {y'_{t}dt}{x'_{t}dt}}={\frac {y'_{t}}{x'_{t}}}$ A questa formola si potrebbe giungere (senza usare i differenziali) ricordando che per la regola di derivazione delle funzioni inverse $t'_{x}={\frac {1}{x'_{t}}}$ e che $y'_{x}=y'_{t}t'_{x}$.

È:

$y''_{x}={\frac {dy'_{x}}{dx}}={\frac {dy'_{x}}{dt}}{\frac {dt}{dx}}={\frac {1}{x'_{t}}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {y'_{t}}{x'_{t}}}\right)={\frac {y''_{t}x'_{t}-y'_{t}x''_{t}}{{x'_{t}}^{3}}}$,

$y'''_{x}={\frac {dy''_{x}}{dx}}={\frac {dt}{dx}}{\frac {dy''_{x}}{dt}}={\frac {1}{x'_{t}}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {y''_{t}x'_{t}-y'_{t}x''_{t}}{{x'_{t}}^{3}}}\right)=$

${\frac {x'_{t}(y'''_{t}x'_{t}-y'_{t}x'''_{t})-3x''_{t}(y''_{t}x'_{t}-x''_{t}y'_{t})}{{x'_{t}}^{5}}}$, ecc.