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cambiamento di variabili nelle formole, ecc.

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Con metodo affatto analogo a quello dell'ora citato § 75, si dimostra (cfr. il § 101, $\gamma$, pag. 334):

Se $I,\mathrm {H}$ sono due campi in corrispondenza biunivoca continua, in modo che le funzioni additive dei pezzi $\tau$ di $I$ si possano considerare come funzioni additive dei pezzi $\mathrm {k}$ di $\mathrm {H}$, se $\mathrm {F}$ è una funzione continua dei punti $I$, e quindi anche dei punti di $\mathrm {H}$, allora:

                                        $\int _{I}f\,d,\tau =\int _{H}\left(F\,{\frac {d\,\tau }{dk}}\right)dk$.          (1)

Ma l'importanza di questo teorema si potrà vedere soltanto dalle applicazioni.

Sia $I$ un campo finito del piano <mah>xy</math>; per fissar le idee, l'origine¹ sia esterna al contorno od ai contorni di $I$; si possono determinare allora le coordinate polari $\rho$ e $\theta$ di un punto generico $I$, così che $\rho$ e $\theta$ siano funzioni continue delle $x,y$ e viceversa. Poniamo $\rho =X,\theta =Y$, considerando le $X,Y$ come coordinate cartesiane di un punto posto in un altro piano $P$. Ad ogni punto di $I$ corrisponderà allora uno e un solo punto di questo piano $P$. E i punti di $P$, che corrispondono a punti di $I$, riempiranno tutta una regione $H$ di $P$

(Notiamo che $x=\rho {\text{cos}}\,\theta =X{\text{cos}}Y,y=\rho {\text{sen}}\theta =X{\text{sen}}Y$)

Una funzione $F(x,y)$ continua delle $x,y$ diverrà una funzione continua $F(X{\text{cos}}\,Y,X{\text{sen}}\,Y$) delle $X,Y$

Se $\tau$ e $k$ sono due pezzi corrispondenti di $I$ e di $H$, la derivata ${\frac {d\,\tau }{dk}}$ si trova, come ora vedremo, uguale ad $X=\rho$. Cosicchè la (1) diventa:

$\int _{I}F(x,y)d\tau =\int _{H}F(X{\text{cos}}\,Y,X\,{\text{sen}}\,Y)\,X\,d\,k$.

Per i risultati dei §§ 103-105 questa formola si può scrivere:

$\int _{I}\ dx\,\int \,F(x,y)dy=\,\int _{H}\,d\,X\,\int \,F(X{\text{cos}}\,Y,X\,{\text{sen}}\,Y)X\,d\,Y=$.

$=\int _{H}\,d\,Y\,\int \,F(X\,{\text{cos}}\,Y,X{\text{sen}}\,Y)\,X\,d\,X$

o anche

(2)   $\int \,dx\,\int \,F(x,y)dy=\int d\,\rho \,\int \,F(\rho {\text{cos}}\,\theta ,\rho {\text{sen}}\,\theta )\,\rho \,d\,\theta =$

$=\int \,d\,\theta \,\int \,F(\rho \,{\text{cos}}\,\theta ,\rho \,{\text{sen}}\,\theta )\,\rho \,d\,\rho$.

1. L'origine è un punto eccezionale per il sistema delle coordinate polari.