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equazioni differenziali

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Spstituendo in (9), si ottiene

$\varphi (z)dx+\psi (z)(xdz+zdx)=0$,

donde, raccogliendo a fattori comuni $dx$ e $dz$, si ha:

$[\varphi (z)+z\psi (z)]\,dx+x\psi (z)dz=0$

che, separando le variabili, diventa:

                                   ${\frac {dx}{x}}+{\frac {\psi (z)dz}{\varphi (z)+z\psi (z)}}=0$,                    (11)

che è a variabili separate, e noi sappiamo quindi integrare.

Sia, p. es., data l'equazione:

$dx\left\{1-{\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}\right\}+{\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}dy=0$.

Posto ${\frac {y}{x}}=z$, essa diventa:

$\left\{1-frac{z}{1+z^{2}}\right\}dz+{\frac {1}{1+z^{2}}}(xdz+zdx)=0$

ossia:

${\frac {dx}{x}}+{\frac {dz}{1+z^{2}}}=0$.

Integrando si ottiene $\log |x|+{\text{arctg}}z=C(C={\text{cost.}})$. Donde $z={\frac {y}{x}}={\text{tg}}[C-\log |x|]$ e quindi $y=x{\text{tg}}[C-\log |x|]$.

$\delta$) Noi abbiamo visto che la

                                        $Mdx+Ndy=0$                    (12)

è risolubile mediante quadrature, se il primo membro è un differenziale esatto, e in particolare se le variabili sono separate (o si possono con qualche artificio separare).

Se il primo membro di (12) non è un differenziale esatto, ci si può chiedere se è possibile trovare una funzione $\rho (x,y)$ delle $x,y$, che, moltiplicata per esso, lo renda un differenziale esatto. Una tale funzione $\rho$ si dice essere un moltiplicatore di $Mdx+Ndy$.

È chiaro che, se in qualche modo si può giungere a trovare un tale moltiplicatore, allora la risoluzione, o, come si suol dire, l'integrazione della (12) è ricondotta a calcolare degli integrali indefiniti, cioè è ridotta alle quadrature.