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capitolo xviii — § 110

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Affinchè $\rho$ sia un moltiplicatore, ossia affinchè $\rho \,Mdx+\rho \,Ndy$ sia un differenziale esatto, deve essere:

${\frac {\partial }{\partial y}}(\rho \,M)={\frac {\partial }{\partial x}}(\rho \,N)$, ossia:

$\rho \left({\frac {\partial M}{\partial y}}-{\frac {\partial N}{\partial x}}\right)+m{\frac {d\rho }{dy}}-N{\frac {d\rho }{dx}}=0$.

Questa è un'equazione alle derivate partiali per la $\rho$; e il problema di risolvere le equazioni a derivate partiali è assai più complicato del problema di risolvere le equazioni a derivate ordinarie.

Il metodo di cercare un moltiplicatore riesce perciò utile solo in casi particolari.

1° Esista, p. es., un moltiplicatore $\rho$ funzione della sola $x$. Essendo in tal caso ${\frac {\partial \rho }{\partial y}}=0$, la nostra equazione diventa

${\frac {d\log |\rho |}{dx}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \rho }{\partial x}}={\frac {1}{N}}\left({\frac {\partial M}{\partial y}}-{\frac {\partial N}{\partial x}}\right)$.

E, affinchè si possa risolvere quest'equazione con una funzione $\rho$ della sola $x$, anche il secondo membro ${\frac {1}{N}}\left({\frac {\partial M}{\partial y}}-{\frac {\partial N}{\partial x}}\right)$ deve essere funzione della sola $x$.

Se così avviene, il problema è dunque ridotto alle quadrature.

2° Così pure, se ${\frac {1}{M}}\left({\frac {\partial M}{\partial y}}-{\frac {\partial N}{\partial x}}\right)=1$ è costante, non dipende da $y$; esiste un moltiplicatore $\rho$ funzione della sola $x$ definito dalla ${\frac {d\log |\rho |}{dx}}=1$.

Si può dunque porre $\rho =e^{x}$; e l'equazione diventa:

$e^{x}(x+y)dx+e^{x}dy=0$.

Posto ${\frac {\partial z}{\partial x}}=e^{x}(x+y),{\frac {\partial z}{\partial y}}=e^{x}$, s itrova $z=ye^{x}+\varphi (x)$, dove $\varphi$ è una funzione di $x$, tale che $[ye^{x}+\varphi (x)]'_{x}?e^{x}(x+y)$, ossia $\varphi '(x)=xe^{x},\varphi (x)=xe^{x}-e^{x}+{\text{cost}}$. Le funzioni $y$ che soddisfano alla nostra equazione differenziale sono dunque quelle date dalla $xe^{x}+ye^{x}-e^{x}=(x+y-1)e^{x}={\text{cost}}$.