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capitolo xviii — § 112 |
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Si noti che, nell'enunciato di questo teorema, l'equazione si suppone risoluta rispetto alla derivata di ordine massimo.
Questo teorema consta di tre parti: una che afferma l'esistenza l'altra che afferma la unicità di tale funzione 
.
) Vediamo ora pertanto un metodo abbastanza generale di integrazione delle equazioni differenziali, che può riuscire utilissimo quando non siano applicabili altri metodi.
Si abbia l'equazione differenziale:
(1)
dove il secondo membro possegga finite e continue tutte le derivate, e sia sviluppabile in serie di potenze di 
.
Consideriamo allora il punto 
e supponiamo sviluppabile l'integrale ignoto nell'intorno del punto 
mediante la serie di aylor:
(2)
dove <mayj>y_0, y'_0</math> ecc. sono i valori di 
, ecc. nel pnto 
.
Intanto della nostra equazione differenziale 81) è facile, derivando successivamente, calcolare 
in funzione di 
.
Infatti, derivando rispetto alla 
la (1), si ottengono equazioni del tipo seguente:
(
)
()
Ora, se poniamo in 
al posto di 
il valore dato dalla (1), in 
al posto di e 
i valori dati rispettivamente dalla (1) e dalla (), nella successiva al posto di 
e 
i valori dati dalle 81), (), () e così di seguito, otteniamo appunto
espresse solo mediante 
. Dati quindi ad arbitrio per 
i valori 
delle 
, si potranno calcolare i valori che per assumono 
Sostituendoli allora nella (2) si ha una funzione data sotto forma di una serie ordinata secondo le potenze di 
, e nella quale compaiono le 
cosanti arbitrarie .
