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capitolo xviii — § 113

La (4) si può scrivere:

$0 = y^{″} - (α + β) y^{'} + α β y$

$= (y^{'} - α y)^{'} - β (y^{'} - α y)$ .

Cioè posto

$z - y^{'} - α y$ .

(6)

la (4) diventa:

$z^{'} - β z = 0$ .

(7)

Da (7) si trae:

( $k =$ cost. arb.).

Da (6)

cosicchè:

$y = e^{x} {\int k e^{(β - α) x} d x + h}$

( $k, h =$ cost. arb.).

I. Se $α = β$ , cioè se $\frac{p^{2}}{4} = q$ , se ne deduce

$y = c^{α x} (C_{1} z + C_{2})$

$C_{1} = k$ ; $C_{2} = h$ cost. arbitrarie).

II. Se $α ≠ β$

$y = e^{α x} {\frac{k}{β - α} e^{(β - α) x} + h}$

$y = C_{1} e^{α x} + C_{2} e^{β x}$

$(C_{1} = h C_{2} = \frac{k}{β - α} cost. arbitr.)$ .

Questa formolo, se $α, β$ sono reali, ci dà tutte le soluzioni reali di (4) quando vi si diano a $C_{1}$ , $C_{2}$ valori reali arbitrarii. Si noti però che (anche se, come supponiamo, $p$ e $q$ sono reali) le $α, β$ possono essere complesse, ciò che avviene se $q - \frac{p^{2}}{4} > 0$ . L'ultima formola continua però a essere valida anche in questo caso e ci dà, sa noi siamo alle $C_{1}, C_{2}$ valori complessi arbitrarii, tutte le soluzioni reali o complesse di (4).

scegliamo quelle di tali soluzioni che sono reali. Bisogna a tal fine che, mutando $i$ in $- i$ , la nostra $y$ resti inalterata. Ma, se noi scambiamo $i$ in $- i$ , le $α, β$ $(che valgono - \frac{p}{2} \pm i \sqrt{q - \frac{p^{2}}{4}})$ si scambieranno tra loro. La nostra soluzione sarà reale allora e allora soltanto che $C_{1} < / a m t H > s i o t t e n g a d a < m a t h > C_{2}$ sono immaginarie coniugate.

Posto dunque $C_{2} = \frac{1}{2} k_{1} + \frac{1}{2} i k_{2}, C_{1} = \frac{1}{2} k_{1} - \frac{1}{2} i k_{2}$ dove $k_{1}, k_{2}$ , sono costanti reali arbitrarie, la

$y = (\frac{1}{2} k_{1} - \frac{1}{2} i k_{2}) e^{- \frac{p}{2} x + i x \sqrt{q - \frac{p^{2}}{4}}} + (\frac{1}{2} k_{1} + \frac{i}{2} k_{2}) e^{- \frac{p}{2} x - i x \sqrt{q - \frac{p^{2}}{4}}}$

$= (\frac{1}{2} k_{1} - \frac{1}{2} i k_{2}) e^{- \frac{p}{2}} {cos \sqrt{q - \frac{p^{2}}{4}} x + i sen \sqrt{q - \frac{p^{2}}{4}} x}$

$+ (\frac{1}{2} k_{1} + \frac{1}{2} i k_{2}) e^{- \frac{p}{2} x} {cos \sqrt{q - \frac{p^{2}}{4}} x - i sen \sqrt{q - \frac{p^{2}}{4}} x}$

$= e^{- \frac{p}{2} x} [k_{1} cos \sqrt{q - \frac{p^{2}}{4}} x + k_{1} sen \sqrt{q - \frac{p^{2}}{4}} x]$

dà tutte e sole le soluzioni reali della nostra equazione.