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capitolo xviii — § 114-115

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Si ha ancora che, se $z_{1}$ e $z_{2}$ sono due soluzioni dell'equazione, l'equazione sarà pure soddisfatta da $z_{1}+z_{2}$. E infatti:

$(z_{1}+z_{2})^{(n)}+p_{1}(z_{1}+z_{2})^{(n-1)}+.....+p_{n}(z_{1}+z_{2})=$

$z_{1}^{(n)}+z_{2}^{(n)}+p_{1}z_{1}^{(n-1)}+p_{1}z_{2}^{(n-1)}+.....+p_{n}z_{1}+p_{n}z_{2}=$

$=(z_{1}^{(n)}+p_{1}z_{1}^{(n-1)}+.....+p_{n}z_{1})+$

$(z_{2}^{(n)}+p_{1}z_{2}^{(n-1)}+.....+p_{n}z_{3})=0$,

poichè i due termini fra parentesi dell'ultima somma sono entrambi nulli, essendo $z_{1}$ e $z_{2}$ soluzioni dell'equazione. Da quanto precede possiamo concludere che, se $k_{1},k_{2},.....,k_{n}$ sono costanti tutt'affatto arbitrarie, e $z_{1},z_{2},.....,z_{n}$ sono soluzioni dell'equazione, sarà pure:

                    $y=k_{1}z_{1}(x)+k_{2}z_{2}(x)+.....+k_{n}z_{n}(x)$                    (6)

una soluzione di (4). Poichè la (6) contiene proprio $n$ costanti arbitrarie, sorge spontanea la domanda se, al variare delle $k$, la (6) rappresenta ogni integrale della (5), o, in altre parole, se la (6) con le $k=$ cost. sia l'integrale generale di (5).

La (6) è una sola equazione lineare in $n$ quantità $k$. Data la $y$, essa si può risolvere, se $n<1$, in infiniti modi. Si domanda pertanto: Se anche $\mathrm {y}$ è una funzione che soddisfa a (5), vi è tra queste infinite soluzioni una soluzione, per cui tutte le k siano costanti?. Premettiamo alcune considerazioni di indole generale.

§ 115. — Un lemma.

Siano $y,z_{1},z_{2},.....z_{n}n+1$ funzioni della $x$ tali che valga la:

(1)          y=k_1z_1+k_2z_+.....+k_nz_nz</math>

e valgono pure le:

$(2){\begin{cases}y'&=k_{1}z'_{1}&+k_{2}z'_{2}&+.....+k_{n}z'_{n}\\y'&=k_{1}z''_{1}&+k_{2}z''_{2}&+.....+k_{n}z''_{n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\y^{(n-1)}&=k_{1}z_{1}^{(n-1)}&+k_{2}z_{2}^{(n-1)}&+.....+k_{n}z_{n}^{(n-1)}\end{cases}}$

Oss. Le (2) sarebbero conseguenza di (1), se le $k$ fossero costanti, cosa che però in generale non sarà.

Le (1), (2) formano un sistema di $n$ equazioni lineari nelle $n$ incognite $k$. La regola di Leibnitz-Cramer ci assicura