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equazioni differenziali

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Così, in generale, si può dimostrare che, se $c_{1}$ è radice multipla d'ordine $k$,

$e^{c_{1}x},xe^{c_{1}x},x^{2}e^{c_{1}x},.....,x^{k-1}e^{c_{1}x}$

sono tutti integrali particolari dell'equazione.

Riassumento: ogni radice d'ordine $k$ dà luogo a $k$ integrali particolari, che, insieme con gli altri integrali derivanti dalle altre radici, sia multiple, sia semplici, costituiscono $n$ integrali particolari dell'equazione.

Di più si potrebbe far vedere che gli integrali così ottenuti hanno il Wronskiano non nullo: con le loro combinazioni lineari si ottengono quindi tutti e soli gli integrali dell'equazione¹.

$\gamma$) Dobbiamo finalmente considerare il caso che le radici dell'equazione caratteristica non siano tutte reali.

Se ci limitassimo a considerare funzioni reali, la soluzione $y=e^{ex}$, dove $c=a+i\,b$ è una radice complessa dell'equazione caratteristica, non avrebbe per noi alcun significato.

Ma se teniamo conto anche di funzioni complesse, potremo dimostrare che $e^{(a+ib)x}$ è ancora un integrale (complesso) della nostra equazione. Infatti tutti i nostri ragionamenti hanno usato soltanto delle regole del calcolo algebrico, delle regole di derivazione di una somma, di un prodotto, e dell'esponenziale $e^{cx}$ ($c=$ cost.), che continuano a valere (cfr. §§ 55-60 e particolarmente pag. 188) anche nel campo delle funzioni complesse della $x$.

Cosicchè, anche nel caso di radici complesse dell'equazione caratteristica (2) vale il teorema: Se $\mathrm {c_{1},c_{2},.....,c_{n}}$ sono le radici tutte distinte di (2), la più generale funzione (complessa) che soddisfi alla (1) è $\mathrm {k_{1}e^{c_{1}x}+k_{2}e^{c_{2}x}+.....+k_{n}e^{c_{n}x}}$ dove le $\mathrm {k}$ sono costanti arbitrarie (complesse). Se invece vi sono radici multiple, e, per es., $\mathrm {c_{1}}$ è radice di ordine $\mathrm {r}$, si devvono assumere a integrali particolari corrispondenti

$\mathrm {e^{c_{1}x},xe^{c_{1}x},.....x^{r-1}e^{c_{1}x}}$.

1. Riferiamoci all'ultima nota a piè di pagina, in cui si sono supposte due sole radici uguali $c_{1}=c_{2}$. Alle soluzioni $e^{c_{1}x},e^{c_{2}x}$ si sono (se $c_{1}\not =c_{2}$) sostituite le $e^{c_{1}x},{\frac {e^{c_{2}x}-e^{c_{1}x}}{c_{2}-c_{1}}}$. Il Wronskiano delle nuove soluzioni è uguale al quoziente ottenuto dividendo per $c_{2}-c_{1}$ il Wronskiano delle soluzioni iniziali. Questo valeva il prodotto di $e^{(c_{1}+c_{2}+...+c_{n})x}$ per il prodotto delle differenze a due a due $c_{r}$; esso perciò, divido per $c_{2}-c_{1}$, ha un quoziente, che per $c_{2}-c_{1}$ tende a un limite diverso sa zero. Questo limite è il Wronskiano delle $e^{c_{1}x},xe^{c_{1}x}$, ecc. c.d.d. Dimostrazione analoga vale nel caso generale.