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capitolo xviii — § 117

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smorzato (p. es., un pendolo che torna alla posizione di equilibrio in un mezzo che presenta tale attrito da impedirgli ogni ulteriore oscillazione).

Se $p=0$, allora $q=k^{2}$; abbiamo in questo caso un puro fenomeno vibratorio; quando $kx$ è aumentato di $2\pi$, ossia quando il tempo $x$ è aumentato di ${\frac {2\,\pi }{k}}$ il sistema riprende le condizioni iniziali; cosicchè $\mathrm {\frac {2,\pi }{k}}$ è la derivata di una oscillazione completa.

Se $p>0$, e se $k$ è reale, allora abbiamo ancora un fenomeno vibratorio. Però l'esponenziale $e^{-{\frac {p}{2}}x}$, che tende a zero al crescere di $x$, ci avverte che le vibrazioni vanno diminuendo di ampiezza, o come si suol dire si smorzano. La durata di una oscillazione è sempre $\mathrm {\frac {2\,\pi }{k}}$. Per fissare le idee, il lettore può pensare alla scarica di un condensatore di capacità $C$ in un filo di resistenza $R$ il cui coefficiente di autoinduzione sia $L$. Se $y$ è l'intensità della corrente all'istante $x$, la fisica insegna che $y''+py'+q=0$ dove sia posto:

$p={\frac {R}{L}}$; $q={\frac {1}{LC}}$.

Per $p=0$ si ha $k={\sqrt {\frac {1}{LC}}}$.

Dunque in tal caso si ha con Thomson che $2\,\pi {\sqrt {LC}}$ è la durata di una vibrazione, e, se $c$ è la velocità di propagazione delle onde elettriche, che $2\,\pi \,c{\sqrt {LC}}$ è la lunghezza d'onda.

Un esempio di equazioni a derivate parziali.

Se abbiamo un equazione alle derivate parziali, cioè se la funzione incognita dipende da più variabili indipendenti, allora, come si può verificare sugli esempi dei §§ 93 e 110, una soluzione di tale equazione non si può più definire, prefissando un numero finito di costanti (le $b_{0},b_{1},...,b_{n-1}$ del teorema di Cauchy a pag. 377), perchè la soluzione più generale di tale equazione dipende da funzioni arbitrarie.