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capitolo xix — § 120

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mento $(a,b)$ interno ad $I$ determina quel pezzo di $C$, che si proietta in $(a,b)$.

Supponiamo di sapere che cosa sia la lunghezza di $C$ ed anche òa lunghezza di ogni sua parte. Allora ogni intervallo $(a,b)$ di $r$ individua un pezzo della curva $C$, e la lunghezza di questo. tale lunghezza $\mathrm {S(a,b)}$ sarà una funzione continua di $\mathrm {(a,b)}$ che evidentemente è additiva¹; perchè se $(a,b)(b,c)$ sono due intervalli distinti, evidentemente la lunghezza di quel pezzo di $C$ che si proietta in $(b.c)$ hanno per somma la lunghezza di quel pezzo di $C$ che si proietta in $(a,b)+(b,c)=(a,c)$.

I nostri procedimenti basteranno a calcolarla, se di tale funzione additiva sappiamo dare la derivata. Tale derivata è per definizione il limite

                                                  $\lim _{b=a}{\frac {S(a,b)}{b-a}}$                                                  (1)

del rapporto ottenuto dividendo la lunghezza del pezzo di curva che si proietta nell'intervallo $(a,b)$ per l'ampiezza $b-a$ di tale intervallo.

La più semplice ipotesi che noi possiamo fare, ispirandoci all'idea intuitiva, che un tale pezzetto di curva, quando la sua proiezione $b-a$ è molto piccola, si confonde quasi con un pezzetto della retta tangente alla curva, è la seguente:

Tale derivata è identica a quella che si otterrebbe sostituendo alla curva la tangente $\tau$ in quel suo punto che si proietta nel punto $\mathrm {x=a}$.

Questo secondo postulato si appare come il più semplice anche per la seguente considerazione. Nel cerchio il rapporto di una corda all'arco corrispondente tende ad uno, quando l'arco tende a zero. Appare spontaneo di ammettere questa proprietò per curve qualsiasi. Il precedente postulato ne è conseguenza immediata. Infatti, ammettere tale proprietà equivale ad ammettere che, se noi indichiamo con $c(a,b)$ la lunghezza della corda congiungente quei punti $C$ che si proiettano nei punti $x=a,x=b$, sia

$\lim _{b=a}{\frac {c(a,b)}{A(a,b)}}=1$.

Cosicchè il limite (1) si può scrivere anche

                                        $\lim _{b=a}{\frac {S(a,b)}{b-a}}\,\lim _{b=a}{\frac {c(a,b)}{S(a,b)}}=\lim _{b=a}{\frac {c(a,b)}{b-a}}$                    (2)

Ora, poichè la retta cui appartiene la corda $(a,b)$ tende, per $b=a$, alla retta tangente $\tau$, il limite 82) coincide col limite (1) calcolato nel modo dato dal precedente postulato.

1. Naturalmente questa affermazione è un primo postulato.