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alcune applicazioni geometriche del calcolo, ecc.

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Esempio.

Sia $R$ una superficie, parte della parete di un recipiente pieno d'acqua (un bacino di carenaggio, p. es.). A pag. 332, es. 3°, abbiamo studiato il caso che $R$ fosse piano e verticale; qui studiamo il caso generale. Ricordando che la pressione subita da $R$, se $R$ fosse un piano comunque inclinato, sarebbe normale ad $R$ e avrebbe per intensità il peso della colonna liquida che gravita su $R$, si induce la seguente proposizione generale.

Se l'asse delle $z$ è verticale, e la $z$ rappresenta proprio la distanza di un punto del recipiente dal pelo libero del liquido, le componenti secondo l'asse delle $x$ o delle $y$ o delle $z$ della pressione subìta da una pezzo $s$ di $R$ sono funzioni additive di $s$, la cui derivata vale rispettivamente $z\,{\text{cos}}\,(nx)$ o $z\,{\text{cos}}\,(ny)$, o $z\,{\text{cos}}\,(nz)$.

Se $R$ è in corrispondenza biunivoca con la sua proiezione sul piano $xy$, tali componenti valgono dunque

$\int \,z\,{\text{cos}}\,(nx){\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}d\,\sigma =\iint \,zp\,dz\,dy$,

oppure $\iint \,zq\,dx\,dy$, oppure $\iint \,z\,dx\,dy$.

la componente $\iint \,z\ dx\,dy$ verticale della pressione è evidentemente il volume del cilindroide generato dai segmenti proiettanti i punti di $R$ sul piano $xy$ (pelo libero del liquido).

§ 122. — Area di una superficie di rotazione.

Se noi poniamo

$x=\rho \,{\text{cos}}\,\theta$,   $y=\rho \,{\text{sen}}\,\theta$   (donde $\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$)

l'equazione di una superficie si può scrivere nella forma

                                                  $z=f(\rho ,\theta )$                                                  (1)

Se essa è di rotazione attorno all'asse delle $z$, l'aumentare di $\theta$ di una costante $\alpha$ qualsiasi, cioè il far rotare di un angolo $\alpha$ la nostra superficie attorno all'asse delle $z$ trasforma la superficie in sè stessa, cioè non ne muta l'equazione 81); cosicchè, qualunque sia $\alpha$, sarà $f(\rho ,\theta )=f(\rho ,\theta +\alpha )$. Cioè $f(\rho ,\theta )$ non varia, qualunque incremento venga dato alla $\theta$, cioè comunque si cambi il valore della $\theta$. Essa p dunque indipendente dalla $\theta$;