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determinanti, sistemi di equazione di primo grado 75


Cosicchè, suposto per fissar le idee :

(1)

Il determinante del secondo membro è la somma dei 27 determinanti che si ottengono conservando in ciascuna colonna uno solo dei tre addendi: il primo, il secondo o il terzo. Se in due colonne conserviamo addendi di egual posto (in entrambe le colonne il primo addendo, o in entrambe il secondo, o in entrambe il terzo), il determinante così ottenuto avrà due colonne proporzionali e quindi (teorema VI, , § 20, pag. 71) sarà nullo. [Così, per esempio, conservando nelle prime due colonne il primo addendo, gli elementi di queste colonne si ottengono moltiplicando rispettivamente per e per ]. Dei 27 determinanti basta per ciò tener conto dei soli sei differenti da zero, che si ottengono scegliendo in una colonna il primo addendo, in un’altra il secondo, nella residua il terzo. Consideriamo uno di questi sei determinanti, per esempio

ottenuto, scegliendo nella colonna il secondo addendo, nella seconda il terzo, e nella terza il primo. Esso vale

. (2)

Ora con c trasposizioni di colonne il determinante si muti in . Tale determinante varrà ; e quindi (2) vale . Ma con le stesse trasposizioni di colonne eseguite sul determinante , il termine va nel termine principale; perciò (teorema III del § 21) vale un termine di . Perciò (2) è il prodotto di per un termine di . Ripetendo questa considerazione per i sei determinanti sopra citati, si trova che il secondo membro di (1) vale il prodotto di per la somma dei sei termini di , cioè vale il prodotto , come dovevasi provare.

Osservazioni. Notiamo che, invertendo l’ordine dei due determinanti e , il loro prodotto non cambia; ciò si verifica facilmente osservando che questa inversione equivale a scambiare in le orizzontali con le verticali.

Il determinante si dice il prodotto eseguito per orizzontali dei due determinanti e ; la regola esposta per ottenere questo prodotto si dice regola di moltiplicazione per orizzontali degli stessi e .

Per moltiplicare per potrei anche scambiare nei determinanti e le righe con le colonne, ciò che non altera i valori dei due determinanti, e poi eseguire il prodotto con la regola precedente. Ciò equivale a trasporre, nell’ultima formola del prodotto , i due indici di ogni elemento e quelli di ogni elemento od anche a porre . Il prodotto così ottenuto dicesi prodotto per verticali.

Infine si potevano scambiare le righe con le colonne in uno solo dei due fattori , .

Se i due determinanti , non fossero del medesimo ordine, allora, per eseguire il prodotto col metodo precedente, si deve elevare l’ordine del determinante di ordine minore, finchè i due determinanti abbiano lo stesso ordine, ed applicare infine la regola precedente (§ 20, teorema X c, pag. 72).

Ricordo che il quadrato di A uguaglia A, A e si ottiene dalla formola precedente, ponendo .