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capitolo v - § 23

colare tosto, appena sono dati i coefficienti dell’equazione. Abbiamo così un metodo per riconoscere quando due delle radici di una data equazione sono tra loro uguali.

$\beta$ ) Il discriminante può servire (almeno teoricamente) a calcolare approssimativamente le radici reali di una equazione a coefficienti reali, che abbia radici tutte distinte.

Se $P(x)=x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n-1}x+a_{n}=0$ è una tale equazione, esistono molti metodi per trovare un numero positivo $B$ maggiore del modulo di ogni sua radice¹ reale o complessa.

Noi diremo che abbiamo calcolato in prima approssimazione, o anche che abbiamo separato le radici reali di tale equazione, se per ogni tale radice $\alpha$ sappiamo assegnare un intervallo dentro al quale sia contenuta la radice $\alpha$ e nessuna altra radice. Impareremo più avanti come il metodo Newton-Fourier permetta poi di dedurre valori di $\alpha$ approssimati a piacere. Se $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}$ sono le radici reali di tale equazione, è $P(x)=(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\ldots (x-\alpha _{r})Q(x)$ dove $Q(x)$ è un prodotto di fattori di secondo grado sempre positivi in $x$ reale. Cosicchè, se $\mu ,\nu$ sono due numeri reali tali che $P(\mu )$ e $P(\nu )$ abbiano segni opposti, certo nell’intervallo $(\mu ,\nu )$ esiste un numero dispari di radici $\alpha$ , e quindi almeno una radice $\alpha$ .

Se $\lambda$ è un numero positivo minore dei valori assoluti di tutte le differenze tra le radici reali combinare a due a due, allora, formano una progressione aritmetica indefinita in ambo i sensi, in cui la differenza tra due termini consecutivi sia eguale a codesto numero $\lambda$ , tra due termini consecutivi della progressione potrà essere compresa una sola radice o nessuna. E, per quanto si disse, sarà facile assicurarsi se tra due termini consecutivi della progressione sia compresa o no una radice, poichè nel primo caso essi, sostituiti all’incognita $x$ , faranno prendere al primo membro $P(x)$ dell’equazione segni opposti, nel secondo caso lo stesso segno².

Evidentemente è inutile protrarre la progressione indefinitamente: basta tener conto solo di quei termini della progressione che cadono nell’intervallo compreso tra $-B$ e $+B$ . In ognuno degli intervallini, ai cui estremi $P(x)$ ha segni opposti, e in essi soli, cade una e una sola radice di $P(x)=0$ . Basterà tener conto di tali intervallini e traascurare gli altri perchè sia risolto il nostro problema di separare le radici della nostra equazione.

Il nostro problema è dunque ridotto alla determinazione del numero $\lambda$ . Si noti che, se $\alpha _{1}$ ed $\alpha _{9}$ sono due radici qualunque, è $|\alpha _{1}-\alpha _{2}|\leq |\alpha _{1}|+|\alpha _{2}|\leq 2B$ .

Sostituendo nel valore (che sappiamo calcolare) di

$\Delta =(\alpha _{1}-\alpha _{2})^{2}(\alpha _{1}-\alpha _{3})^{2}\ldots (\alpha _{n}-1-\alpha _{\mu }^{2})$

in luogo di tutti i fattori, eccettuato $(\alpha _{1}-\alpha _{2})$ , il numero maggiore (in valore assoluto) $|2B|$ , si avrà:

$|\Delta |\leq |\alpha _{1}-\alpha _{2}|^{2}{(2B)^{2^{{\frac {n-(n-1)}{2}}-1}}}$ ; onde ${\sqrt {|\Delta |}}\leq |\alpha _{1}-\alpha _{2}||2B|^{{\frac {n(n-1)-1}{2}}-1}$

↑ Ecco, per esempio un metodo teoricamenre semplice. Sia $A$ la massima delle $|a_{1}|,|a_{2}|,\ldots ,|a_{n}|$ . Sarà

$|P(x)|\geq |x|^{n}-\left\{|a_{1}x^{n-1}|+|a_{2}x^{n-2}|+\ldots +|a_{n}|\right\}\geq$

$|x|^{n}-A\left\{|x|^{n-1}+|x|^{n-2}+\ldots +|x|+1\right\}=|x|^{n}-A{\frac {|x|^{n}-1}{|x|-1}}$

cioè

$|P(x)|\geq {\frac {x^{|n|}|x|-A-1|+A}{|x|-1}}$ . Se dunque $|x|\geq A+1$ , allora sarà $|P(x)|>0$ . Quindi se $x$ è radice di $P(x)=0$ , il suo modulo $|x|$ sarà inferiore ad $A+1$ . Potremo dunque porre $B=A+1$ . Per altri metodi, che permettono di assegnare un valore più piccolo al numero $B$ rinvio ai trattati di algebra.
↑ Non porta che semplificazioni il caso che uno dei termini della progressione sia esso stesso una radice.

[1] Ecco, per esempio un metodo teoricamenre semplice. Sia $A$ la massima delle $|a_{1}|,|a_{2}|,\ldots ,|a_{n}|$ . Sarà

$|P(x)|\geq |x|^{n}-\left\{|a_{1}x^{n-1}|+|a_{2}x^{n-2}|+\ldots +|a_{n}|\right\}\geq$

$|x|^{n}-A\left\{|x|^{n-1}+|x|^{n-2}+\ldots +|x|+1\right\}=|x|^{n}-A{\frac {|x|^{n}-1}{|x|-1}}$

cioè

$|P(x)|\geq {\frac {x^{|n|}|x|-A-1|+A}{|x|-1}}$ . Se dunque $|x|\geq A+1$ , allora sarà $|P(x)|>0$ . Quindi se $x$ è radice di $P(x)=0$ , il suo modulo $|x|$ sarà inferiore ad $A+1$ . Potremo dunque porre $B=A+1$ . Per altri metodi, che permettono di assegnare un valore più piccolo al numero $B$ rinvio ai trattati di algebra.

[2] Non porta che semplificazioni il caso che uno dei termini della progressione sia esso stesso una radice.

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