Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/119

intorno alle coniche inscritte in una stessa superficie sviluppabile ecc.

105

punto, le cui coordinate sono:

${\frac {x}{a}}={\frac {\alpha (9h-8\alpha ^{2})}{4(h-\alpha ^{2})}},$     ${\frac {y}{b}}={\frac {3h-2\alpha ^{2}}{4(h-\alpha ^{2})}},$     ${\frac {z}{c}}={\frac {\alpha }{4(h-\alpha ^{2})}}$

cioè:

I piani osculatori della cubica gobba ne’ punti ov’essa è incontrata dal piano della conica locale passano pel centro di questa conica.

Le formole relative alla cubica gobba divengono più semplici, senza punto scemare di generalità, se si pone α = 0, cioè se si assume come origine delle coordinate il punto reale (o uno de’ tre punti reali) in cui la cubica è segata dal piano (5). Allora la curva è rappresentata dalle:

${\frac {x}{a}}={\frac {\theta ^{3}}{\theta ^{2}+h}},$     ${\frac {y}{b}}={\frac {\theta ^{2}}{\theta ^{2}+h}},$     ${\frac {z}{c}}={\frac {\theta }{\theta ^{2}+h}}$

ove h = ± β² . L’equazione (5) diviene:

5’)	${\frac {x}{a}}+9h{\frac {z}{c}}=0.$

Mediante queste formole sì semplici si dimostra facilmente la proprietà che segue. Il cono di second’ordine che passa per la cubica gobba ed ha il vertice al punto di parametro θ è rappresentato dalla:

$\left({\frac {x}{a}}-\theta {\frac {y}{b}}\right)\left(\theta {\frac {y}{b}}+h{\frac {z}{c}}-\theta \right)-h\left({\frac {y}{b}}-\theta {\frac {z}{c}}\right)^{2}=0$

esso è segato dal piano (5)’ in una conica la cui proiezione sul piano yz è rappresentata dalla:

$(\theta ^{2}+h){\frac {y^{2}}{b^{2}}}+h(9h+\theta ^{2}){\frac {z^{2}}{c^{2}}}+8h\theta {\frac {yz}{bc}}-9\theta h{\frac {z}{c}}-\theta ^{2}{\frac {y}{b}}=0.$

Qualunque sia θ, questa equazione rappresenta una ellisse od un’iperbole secondo che h positiva o negativa; dunque:

Il piano della conica luogo de’ centri delle coniche inscritte in una superficie sviluppabile del quart’ordine sega i coni di second’ordine passanti per lo spigolo di regresso di questa secondo coniche che sono tutte di una medesima specie; e propriamente sono ellissi, iperboli o parabole secondo che la locale è iperbole, ellisse o parabola.

Per conseguenza:

Se una cubica gobba ha tre assintoti reali, per essa passano tre cilindri (di se-