 |
Questa pagina è stata trascritta e formattata, ma deve essere riletta. | |
| 106 | intorno alle coniche inscritte in una stessa superficie sviluppabile ecc. |
cond’ordine) iperbolici; se ha un solo assintoto reale, per essa passa un solo cilindro (di second’ordine) ellittico.
Dalle proposizioni suesposte credo che emerga l’importanza di dividere le cubiche gobbe in due generi:
Primo genere: la curva ha tre assintoti reali; non vi sono piani osculatori paralleli, i piani osculatori segano la superficie sviluppabile da essi inviluppata secondo coniche che sono tutte iperboli; i centri delle quali sono tutti in un’ellisse. Il piano di quest’ellisse sega la cubica in tre punti reali, e i coni di second’ordine passanti per quest’ultima in altrettante coniche che sono tutte iperboli.
Secondo genere: la cubica gobba ha un solo assintoto reale, ed ha due piani osculatori paralleli, i quali segano la superficie sviluppabile (della quale la cubica è lo spigolo di regresso) secondo parabole, mentre gli altri piani osculatori la segano secondo ellissi o iperboli. I centri di queste coniche sono in un’iperbole posta in un piano parallelo ai due piani osculatori paralleli e da essi equidistante. In un ramo dell’iperbole locale sono i centri delle ellissi, nell’altro ramo i centri delle iperboli. Il piano dell’iperbole locale sega la cubica in un solo punto reale, e i coni di second’ordine passanti per quest’ultima in altrettante coniche che sono tutte ellissi.
Vi sono poi due casi particolari, interessanti a considerarsi e sono:
1.º La cubica gobba può avere un solo assintoto reale a distanza finita, e gli altri due coincidenti a distanza infinita. Il che torna a dire che il piano all’infinito seghi la cubica gobba in un punto e la tocchi in un altro. In questo caso la linea può essere rappresentata colle equazioni:
colle quali si dimostrano facilmente le seguenti proprietà, le quali ponno però essere dedotte anche dai teoremi generali dimostrati sopra:
Le coniche inscritte in una superficie sviluppabile di quart’ordine, che abbia una generatrice a distanza infinita, sono tutte iperboli, ad eccezione di una sola che è una parabola, e i loro centri giacciono in un’altra parabola. Le due parabole sono nel medesimo piano, il quale sega i coni di second’ordine passanti per la cubica gobba, spigolo di regresso della sviluppabile, secondo coniche tutte parabole. Per la cubica passano due cilindri (di second’ordine) uno parabolico e l’altro iperbolico.
Questa cubica gobba particolare può considerarsi come appartenente all’uno o all’altro de’ due generi sopra accennati. Infatti, essa apparterrà al primo genere, ove s’immagini che i tre punti comuni alla cubica ed al piano della locale vengano a riunirsi in un solo, che va necessariamente a distanza infinita. Ovvero apparterrà al
