Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/214

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200 considerazioni di storia della geometria ecc.

ed alla teoria de’ luoghi geometrici (380 a. C.). Aristeo (350 a. C.) scrisse cinque libri sulle coniche, che andarono perduti. Scrisse quattro libri anche Euclide (285 a. C.) che pure si sono perduti. Archimede (287-212 a. C.) trovò la quadratura della parabola e il centro di gravità d’un settore parabolico, e misurò i volumi de’ segmenti degli sferoidi e de’ conoidi parabolici ed iperbolici1.

Pel primo Apollonio (245 a. C.) considerò le sezioni piane d’un cono obliquo a base circolare2. A lui si devono: le proprietà degli assintoti (II lib.); il teorema che è costante il rapporto dei prodotti de’ segmenti fatti da una conica sopra due trasversali parallele a due rette fisse, e condotte per un punto qualunque (III, 16-23); le principali proprietà de’ fuochi dell’ellisse e dell’iperbole (III, 45-52); i teoremi esser costante l’area del parallelogrammo compreso da due diametri coniugati, e costante anche la somma de’ quadrati di questi (VII, 12, 22, 30, 31); il teorema che una trasversale condotta pel punto comune a due tangenti di una conica è divisa da questa e dalla corda di contatto armonicamente (III, 37), ecc. A lui viene attribuito da Pappo anche il famoso teorema ad quatuor lineas:

“Dato un quadrigono, il luogo di un punto tale che, condotte da esso sotto angoli dati due oblique a due lati opposti e due oblique agli altri due lati, il prodotto delle prime due oblique sia in rapporto costante col prodotto delle altre due, è una conica circoscritta al quadrigono„3.

Il teorema polare reciproco di questo è stato dato da Chasles4:

“Dato un quadrilatero, l’inviluppo di una retta tale che il prodotto delle sue distanze da due vertici opposti sia in un rapporto costante col prodotto delle distanze dagli altri due vertici è una conica inscritta nel quadrilatero„.

Questi teoremi e gli altri notissimi di Pascal, Brianchon, ecc. ponno dedursi come corollari dai due seguenti di Chasles e Steiner:

“Il doppio-rapporto delle quattro rette congiungenti quattro punti dati di una conica con un quinto punto qualunque della medesima è costante„.

“Il doppio-rapporto de’ quattro punti in cui quattro tangenti date di una conica segano una quinta tangente qualunque della medesima è costante„.


  1. Archimedis, Opera nonnulla a F. Commandino, etc.: Circuli dimensioDe lineis spiralibusQuadratura parabolesDe conoidibus et sphæroidibusDe arena numero. Venetiis 1559.
  2. Apollonii Pergæi, Conicorum libri octo, et Sereni Antisensis, de sectione cylindri et coni libri duo. Oxoniæ 1710.
  3. Vedi la dimostrazione di questo teorema in Newton, Principia, I, lemma 19.
  4. Correspondance math. de Quetelet, Bruxelles, tom. V.