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| intorno alla curva gobba del quart’ordine ecc. | 291 |
gobba K. Se queste linee non hanno alcun punto comune, ogni piano condotto per R sega K in quattro punti; e la sezione fatta da quel piano nella superficie di quint’ordine consta della retta (direttrice) R e delle quattro rette (generatrici) che uniscono quei quattro punti di K ai loro corrispondenti in R. Dunque, in tal caso, R è una retta semplice (non multipla) per la superficie di quint’ordine. {Vi è una curva doppia del 6.º ordine}.
Se R ha un punto a comune con K, ogni piano condotto per R sega la curva in altri tre punti, i quali, uniti ai loro corrispondenti in R, danno altrettante generatrici della superficie di quint’ordine. La quarta generatrice è la retta che unisce il punto a della curva K al corrispondente α di R, epperò coincide colla stessa R, In questo caso, adunque, la retta R è doppia sulla superficie di quint’ordine. Ossia, in ogni punto μ di R, questa superficie ha due piani tangenti: l’uno è il piano determinato da R e dalla generatrice mμ; l’altro, costante qualunque sia μ, è il piano passante per R e per la retta tangente in a alla curva gobba K.
Ma se il punto α coincide con a, cioè se nelle due serie proiettive date il punto a corrisponde a sè medesimo, allora è evidente che ogni retta condotta per a, nel piano che ivi tocca K e passa per R, soddisfà alla condizione di unire un punto di K col corrispondente di R; quindi la superficie di quint’ordine si decomporrà nel piano anzidetto ed in una superficie del quart’ordine, per la quale R è una retta semplice. Ogni piano condotto per R sega la superficie secondo tre generatrici: i tre punti in cui queste si segano a due a due, sono punti doppi della superficie di quart’ordine. Dunque, questa ha, per curva doppia, una cubica gobba incontrata due volte da ciascuna generatrice.
Suppongasi ora R appoggiata in due punti a, a’ alla curva K e siano α, α’ i corrispondenti punti di R. La retta R è tripla per la superficie di quint’ordine, tenendo essa luogo di direttrice e di due generatrici aα, a’α’.
Se α coincide con a, la superficie riducesi al quart’ordine colla retta doppia R ed una conica doppia36. Se anche α’ coincide con a’, si ottiene una superficie di terzo grado, avente R per direttrice semplice, ed inoltre un’altra direttrice rettilinea che è doppia.
Da ultimo, supponiamo R passante per tre punti a, a’, a’’ della curva K; ed a questi punti della curva gobba corrispondano nella retta R i punti α, α’, α’’. Se ciascuno di questi tre punti è distinto dal suo corrispondente, R tien luogo di direttrice e di tre generatrici aα, a’α’, a’’α’’, epperò essa è una retta quadrupla per la superficie di quint’ordine.
Se α coincide con a, avremo una superficie di quart’ordine colla retta tripla R.
