Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/304

290

intorno alla curva gobba del quart’ordine ecc.

§ 7.

Siano date sulla curva gobba $\mathrm {K}$ (di quart’ordine e seconda specie) e sopra una retta qualsivoglia $\mathrm {R}$, due semplici serie proiettive di punti, tali cioè, che a ciascun punto dell’una corrisponda un punto nell’altra e reciprocamente. Cotali serie si possono ottenere così. Si assuma una retta $\mathrm {A}$, appoggiata in tre punti alla curva $\mathrm {K}$, come asse di un fascio di piani $\mathrm {P}$, omografico ad una serie di punti data sulla retta $\mathrm {R}$. Ogni piano $\mathrm {P}$ sega la curva gobba in un solo punto $m$, fuori dell’asse $\mathrm {A}$; questo punto $m$ della curva sarà il corrispondente di quel punto $\mu$, di $\mathrm {R}$, che è omologo al piano $\mathrm {P}$.

Di qual grado è la superficie gobba, luogo della retta $m\mu$, cioè della retta che unisce due punti corrispondenti nelle due date serie proiettive? Ossia, quante rette analoghe ad $m\mu$ sono incontrate da una retta arbitraria $\mathrm {L}$?

Un punto qualunque $\mu$, preso nella retta $\mathrm {R}$, ha il suo corrispondente $m$ sulla curva gobba; e se per $m$ e per la retta L si conduce un piano, questo sega $\mathrm {R}$ in un punto $\mu '$. Se invece si assume ad arbitrio il punto $\mu '$ in $\mathrm {R}$, il piano condotto per esso e per $\mathrm {L}$ sega $\mathrm {K}$ in quattro punti $m$, ai quali corrispondono altrettanti punti $\mu$ in $\mathrm {R}$. Dunque, variando nella retta $\mathrm {R}$ simultaneamente $\mu$ e $\mu '$, ad ogni punto $\mu$ corrisponde un solo $\mu '$, ma ad ogni $\mu '$ corrispondono quattro punti $\mu$. Ossia, $\mu$ genera un’involuzione di quart’ordine^[1], mentre $\mu '$ genera una semplice serie proiettiva all’involuzione medesima. Vi saranno dunque cinque punti $\mu '$ ciascuno de’ quali coincide con uno de’ corrispondenti $\mu$. Ma quando ha luogo tale coincidenza, la retta $m\mu$ è una generatrice della superficie di cui si tratta; dunque, la superficie richiesta è del quinto ordine {e di genere zero}.

Queste conclusioni stanno, comunque sia situata la retta $\mathrm {R}$, rispetto alla curva

---

1. Se in un piano si ha un fascia di curve d’ordine $n$, passanti per gli stessi $n^{2}$ punti, esse segano una retta arbitraria $\mathrm {L}$ in una serie di punti aggruppati ad $n$ ad $n$: ogni gruppo formata dalle intersezioni di $\mathrm {L}$ con una stessa curva del fascio. Tale serie di gruppi di punti denominasi involuzione d’ordine $n$.
   Un secondo fascio di curve d’ordine $n'$ determina su $\mathrm {L}$ un’altra involuzione d’ordine $n'$. Se i due fasci sono projettivi, tali sono pure le due involuzioni, cioè i gruppi dell’una corrispondono anarmonicamente ai gruppi dell’altra. Vi sono $n+n'$ punti di $\mathrm {L}$, in ciascun de’ quali sono riuniti due punti appartenenti a due gruppi corrispondenti. Tali $n+n'$ punti sono quelli in cui la retta $\mathrm {L}$ sega la curva d’ordine $n+n'$, luogo delle intersezioni delle curve omologhe ne’ due fasci projettivi dati (Jonquières: Annali di Matematica, Roma 1859).³⁵
   Nella ricerca superiore si ha $n=4$, $n'=1$.